Định lý Gauss

Chúng ta biết rằng luôn có một trường điện tĩnh xung quanh một điện tích dương hoặc âm và trong trường điện tĩnh đó có dòng ống năng lượng hoặc lưu lượng. Thực tế, lưu lượng được phát ra/tỏa ra từ điện tích. Bây giờ, lượng lưu lượng này phụ thuộc vào số lượng điện tích mà nó tỏa ra. Để tìm ra mối quan hệ này, định lý Gauss đã được giới thiệu. Định lý này có thể được coi là một trong những định lý mạnh mẽ và hữu ích nhất trong lĩnh vực khoa học điện. Chúng ta có thể tìm ra lượng lưu lượng phát ra thông qua diện tích bề mặt bao quanh điện tích từ định lý này.

Định lý này nêu rằng tổng lưu lượng điện thông qua bất kỳ bề mặt kín nào bao quanh một điện tích, bằng tổng điện tích dương được bao quanh bởi bề mặt đó.
Giả sử các điện tích Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn được bao quanh bởi một bề mặt, thì định lý có thể được biểu diễn bằng tích phân bề mặt như sau

Trong đó, D là mật độ lưu lượng trong coulombs/m2 và dS là vectơ hướng ra ngoài.

Giải thích Định lý Gauss

Để giải thích định lý Gauss, tốt hơn hết là đi qua một ví dụ để hiểu rõ hơn.
Giả sử Q là điện tích ở trung tâm của một quả cầu và lưu lượng tỏa ra từ điện tích vuông góc với bề mặt. Khi đó, định lý này nêu rằng tổng lưu lượng tỏa ra từ điện tích sẽ bằng Q coulombs và điều này có thể được chứng minh toán học. Nhưng nếu điện tích không được đặt ở trung tâm mà ở bất kỳ điểm nào khác (như được hiển thị trong hình).

Khi đó, các đường lưu lượng không vuông góc với bề mặt bao quanh điện tích, lưu lượng này được phân giải thành hai thành phần vuông góc với nhau, thành phần nằm ngang là thành phần sinθ và thành phần đứng là thành phần cosθ. Khi tổng của các thành phần này được tính cho tất cả các điện tích, thì kết quả cuối cùng bằng tổng điện tích của hệ thống, điều này chứng minh định lý Gauss.

Chứng minh Định lý Gauss

Hãy xem xét một điện tích điểm Q nằm trong một môi trường đồng nhất đẳng hướng có độ thấm điện ε.

Cường độ điện trường tại bất kỳ điểm nào cách điện tích một khoảng r là

Mật độ lưu lượng được cho là,

Từ hình vẽ, lưu lượng thông qua diện tích dS

Trong đó, θ là góc giữa D và pháp tuyến của dS.
Bây giờ, dScosθ là hình chiếu của dS vuông góc với véc tơ bán kính. Theo định nghĩa của góc rắn

Trong đó, dΩ là góc rắn tạo bởi diện tích bề mặt dS tại Q. Vì vậy, tổng di chuyển của lưu lượng thông qua toàn bộ diện tích bề mặt là

Bây giờ, chúng ta biết rằng góc rắn tạo bởi bất kỳ bề mặt kín nào là 4π steradians, vì vậy tổng lưu lượng điện thông qua toàn bộ bề mặt là

Đây là dạng tích phân của định lý Gauss. Và do đó, định lý này đã được chứng minh.

Lời nói đầu: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.