ทฤษฎีเกาส์
เรารู้ว่ามีสนามไฟฟ้าสถิตอยู่รอบ ๆ ประจุไฟฟ้าบวกหรือลบ และในสนามไฟฟ้านั้นมีการไหลของท่อพลังงานหรือฟลักซ์จริงๆ แล้วฟลักซ์นี้ถูกแผ่ออกมาจากประจุไฟฟ้า ปริมาณของการไหลของฟลักซ์ขึ้นอยู่กับปริมาณของประจุที่กำลังแผ่ออกมา เพื่อค้นหาความสัมพันธ์นี้ ได้มีการนำทฤษฎีของเกาส์เข้ามาใช้ ทฤษฎีนี้สามารถถือว่าเป็นหนึ่งในทฤษฎีที่ทรงพลังและมีประโยชน์มากที่สุดในวงการวิทยาศาสตร์ไฟฟ้า เราสามารถหาปริมาณของฟลักซ์ที่แผ่ผ่านพื้นที่ผิวรอบประจุจากทฤษฎีนี้ได้
ทฤษฎีนี้กล่าวว่าปริมาณรวมฟลักซ์ไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดใดๆ ที่ล้อมรอบประจุจะเท่ากับประจุบวกที่ถูกห่อหุ้มโดยพื้นผิวนั้น
สมมติว่าประจุ Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn ถูกห่อหุ้มโดยพื้นผิว ทฤษฎีนี้สามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ด้วยอินทิกรัลพื้นผิวได้ว่า
ที่ D คือความหนาแน่นฟลักซ์ในคูลอมบ์/ม2 และ dS คือเวกเตอร์ที่ชี้ออกจากพื้นผิว
คำอธิบายทฤษฎีของเกาส์
เพื่ออธิบายทฤษฎีของเกาส์ มันดีกว่าที่จะผ่านตัวอย่างเพื่อความเข้าใจที่เหมาะสม
ให้ Q เป็นประจุที่ศูนย์กลางของทรงกลมและฟลักซ์ที่แผ่ออกมาจากประจุมีแนวตั้งฉากกับพื้นผิว ตอนนี้ทฤษฎีนี้กล่าวว่าปริมาณรวมฟลักซ์ที่แผ่ออกมาจากประจุจะเท่ากับ Q คูลอมบ์ และสามารถพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้ แต่ถ้าประจุไม่ได้ตั้งอยู่ที่ศูนย์กลาง แต่อยู่ที่จุดอื่นๆ (ดังแสดงในรูป)
ในกรณีนั้น เส้นฟลักซ์ไม่ได้อยู่ตั้งฉากกับพื้นผิวรอบประจุ ฟลักซ์นี้จะถูกแยกออกเป็นสองส่วนที่ตั้งฉากกัน ส่วนแนวนอนคือส่วน sinθ และส่วนแนวตั้งคือส่วน cosθ เมื่อรวมส่วนเหล่านี้สำหรับประจุทั้งหมด ผลลัพธ์สุทธิจะเท่ากับประจุรวมของระบบ ซึ่งพิสูจน์ทฤษฎีของเกาส์.
การพิสูจน์ทฤษฎีของเกาส์
ให้เราพิจารณาประจุจุด Q ตั้งอยู่ในสารตัวกลางที่มีความเป็นฉนวน ε ที่สม่ำเสมอและเป็นไอโซโทรปิก
ความเข้มของสนามไฟฟ้าที่จุดใดๆ ที่ระยะ r จากประจุคือ
ความหนาแน่นฟลักซ์คือ
จากภาพ ฟลักซ์ผ่านพื้นที่ dS
ที่ θ คือมุมระหว่าง D และแนวตั้งฉากกับ dS
ตอนนี้ dScosθ คือการฉายของ dS ตั้งฉากกับเวกเตอร์รัศมี โดยนิยามของมุมแข็ง
ที่ dΩ คือมุมแข็งที่ประจุ Q ทำให้เกิดกับพื้นที่ผิวด้านเล็ก dS ดังนั้นการกระจัดของฟลักซ์ผ่านพื้นที่ผิวทั้งหมดคือ
ตอนนี้เราทราบว่ามุมแข็งที่พื้นผิวปิดใดๆ ทำให้เกิดคือ 4π สเตราเดียน ดังนั้นฟลักซ์ไฟฟ้ารวมผ่านพื้นผิวทั้งหมดคือ
นี่คือรูปแบบอินทิกรัลของทฤษฎีของเกาส์ และดังนั้นทฤษฎีนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว
คำชี้แจง: โปรดเคารพเนื้อหาต้นฉบับ บทความที่ดีควรแบ่งปัน หากมีการละเมิดลิขสิทธิ์โปรดติดต่อเพื่อลบ
