Teorema di Gauss

Sappiamo che intorno a una carica elettrica positiva o negativa c'è sempre un campo elettrico statico e in quel campo elettrico statico c'è un flusso di tubi di energia o flusso. In effetti, questo flusso è irradiato/emesso dalla carica elettrica. Ora, la quantità di questo flusso dipende dalla quantità di carica da cui proviene. Per scoprire questa relazione, è stato introdotto il teorema di Gauss. Questo teorema può essere considerato uno dei più potenti e utili nel campo della scienza elettrica. Possiamo determinare la quantità di flusso irradiato attraverso l'area superficiale che circonda la carica tramite questo teorema.

Questo teorema afferma che il totale flusso elettrico attraverso qualsiasi superficie chiusa che circonda una carica, è uguale alla carica netta positiva racchiusa da quella superficie.
Supponiamo che le cariche Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn siano racchiuse da una superficie, allora il teorema può essere espresso matematicamente come integrale superficiale come

Dove, D è la densità di flusso in coulomb/m2 e dS è il vettore direzionato verso l'esterno.

Spiegazione del teorema di Gauss

Per spiegare il teorema di Gauss, è meglio passare attraverso un esempio per una comprensione appropriata.
Sia Q la carica al centro di una sfera e il flusso emanato dalla carica sia normale alla superficie. Ora, questo teorema afferma che il totale flusso emanato dalla carica sarà uguale a Q coulomb e ciò può essere dimostrato anche matematicamente. Ma cosa succede quando la carica non è posizionata al centro ma in qualsiasi altro punto diverso dal centro (come mostrato nella figura).

In quel caso, le linee di flusso non sono normali alla superficie che circonda la carica, quindi questo flusso viene risolto in due componenti perpendicolari tra loro, il componente orizzontale è il componente sinθ e il componente verticale è il componente cosθ. Ora, quando si sommano questi componenti per tutte le cariche, il risultato netto è uguale alla carica totale del sistema, il che dimostra il teorema di Gauss.

Dimostrazione del teorema di Gauss

Consideriamo una carica puntiforme Q situata in un mezzo omogeneo isotropo di permittività ε.

L'intensità del campo elettrico in qualsiasi punto a una distanza r dalla carica è

La densità di flusso è data da,

Ora, dalla figura, il flusso attraverso l'area dS

Dove, θ è l'angolo tra D e la normale a dS.
Ora, dScosθ è la proiezione di dS normale al raggio vettore. Per definizione di angolo solido

Dove, dΩ è l'angolo solido sotteso da Q dall'elemento superficiale dS. Quindi, il totale spostamento di flusso attraverso l'intera area superficiale è

Ora, sappiamo che l'angolo solido sotteso da qualsiasi superficie chiusa è 4π steradianti, quindi il flusso elettrico totale attraverso l'intera superficie è

Questa è la forma integrale del teorema di Gauss. E dunque questo teorema è dimostrato.

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