قضیه گاوس

می‌دانیم که همیشه یک میدان الکتریکی ثابت حول شارژ الکتریکی مثبت یا منفی وجود دارد و در آن میدان الکتریکی ثابت، جریان لوله انرژی یا پخش وجود دارد. در واقع این پخش از شارژ الکتریکی تابیده/صادر می‌شود. حالا مقدار این جریان پخش بستگی به مقدار شارژی دارد که از آن صادر می‌شود. برای یافتن این رابطه، قضیه گاوس معرفی شد. این قضیه می‌تواند یکی از قدرتمندترین و مفیدترین قضیه‌ها در زمینه علوم الکتریکی در نظر گرفته شود. می‌توانیم با استفاده از این قضیه مقدار پخش تابیده شده از طریق سطح محاط شده توسط شارژ را پیدا کنیم.

این قضیه بیان می‌کند که مجموع پخش الکتریکی از طریق هر سطح بسته محاط کننده یک شارژ، برابر با مجموع شارژ مثبت محاط شده توسط آن سطح است.
فرض کنید شارژ‌های Q1، Q2_ _ _ _Qi، _ _ _ Qn توسط یک سطح محاط شده‌اند، آنگاه قضیه را می‌توان به صورت انتگرال سطحی بیان کرد

که در آن D چگالی پخش در کولن/متر2 و dS بردار خارجی است.

توضیح قضیه گاوس

برای توضیح قضیه گاوس، بهتر است از یک مثال برای درک صحیح استفاده کنیم.
فرض کنید Q شارژی در مرکز یک کره باشد و پخش صادر شده از شارژ عمود بر سطح است. حالا، این قضیه بیان می‌کند که مجموع پخش صادر شده از شارژ برابر با Q کولن خواهد بود و این می‌تواند به صورت ریاضی نیز اثبات شود. اما اگر شارژ در مرکز قرار نگیرد و در نقطه‌ای دیگر (مانند شکل) باشد چه خواهد شد.

در آن زمان، خطوط پخش عمود بر سطح محاط شده توسط شارژ نیستند، بنابراین این پخش به دو مؤلفه عمود بر هم تقسیم می‌شود، مؤلفه افقی که sinθ است و مؤلفه عمودی که cosθ است. حالا وقتی مجموع این مؤلفه‌ها برای تمام شارژ‌ها گرفته می‌شود، نتیجه نهایی برابر با مجموع کل شارژ‌های سیستم خواهد بود که قضیه گاوس را اثبات می‌کند.

اثبات قضیه گاوس

بیایید یک شارژ نقطه‌ای Q را در نظر بگیریم که در یک محیط همگن و یکنواخت با پرمیتابیلیتی ε قرار دارد.

شدت میدان الکتریکی در هر نقطه در فاصله r از شارژ است

چگالی پخش برابر است با

حالا از شکل مشاهده می‌کنیم که پخش از طریق مساحت dS

که در آن θ زاویه بین D و عمود بر dS است.
حالا، dScosθ تصویر dS عمود بر بردار شعاعی است. با تعریف زاویه مجسم

که در آن dΩ زاویه مجسمی است که توسط سطح مقدماتی dS در Q تشکیل می‌شود. بنابراین جابجایی کل پخش از طریق کل سطح است

حالا، می‌دانیم که زاویه مجسمی توسط هر سطح بسته 4π استرادیان است، بنابراین پخش الکتریکی کل از طریق کل سطح برابر است با

این شکل انتگرالی قضیه گاوس است. و بنابراین این قضیه اثبات می‌شود.

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوبی که ارزش به اشتراک گذاری دارند، در صورت نقض حق تکثیر لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.