Gaußscher Integralsatz

Wir wissen, dass sich um eine positive oder negative elektrische Ladung stets ein statisches elektrisches Feld ausbildet und in diesem statischen elektrischen Feld ein Energiestrom oder Fluss vorhanden ist. Tatsächlich wird dieser Fluss von der elektrischen Ladung ausgestrahlt. Die Menge dieses Flusses hängt von der Größe der Ladung ab, von der er ausgeht. Um diese Beziehung zu bestimmen, wurde der Gauß'sche Satz eingeführt. Dieser Satz gilt als einer der mächtigsten und nützlichsten Sätze im Bereich der Elektrotechnik. Mit Hilfe dieses Satzes können wir die Menge des durch die Oberfläche umgebenden Ladungen strahlenden Flusses berechnen.

Dieser Satz besagt, dass der gesamte elektrische Fluss durch jede geschlossene Oberfläche, die eine Ladung umgibt, gleich der netto positiven Ladung ist, die von dieser Oberfläche umschlossen wird.
Angenommen, die Ladungen Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn sind von einer Oberfläche umgeben, dann kann der Satz mathematisch durch ein Oberflächenintegral ausgedrückt werden:

Dabei ist D die Flussdichte in Coulomb/m2 und dS ist der nach außen gerichtete Vektor.

Erklärung des Gauß'schen Satzes

Um den Gauß'schen Satz zu erklären, ist es besser, ein Beispiel durchzugehen, um das Verständnis zu fördern.
Sei Q die Ladung im Zentrum einer Kugel und der Fluss, der von der Ladung ausgeht, normal zur Oberfläche. Der Satz besagt, dass der gesamte Fluss, der von der Ladung ausgeht, Q Coulomb betragen wird, was auch mathematisch bewiesen werden kann. Was aber, wenn die Ladung nicht im Zentrum, sondern an einem anderen Punkt (wie in der Abbildung gezeigt) liegt?

In diesem Fall sind die Flusslinien nicht mehr normal zur Oberfläche, die die Ladung umgibt. Der Fluss wird dann in zwei Komponenten aufgeteilt, die senkrecht zueinander stehen: die horizontale Komponente (sinθ) und die vertikale Komponente (cosθ). Wenn die Summe dieser Komponenten für alle Ladungen genommen wird, ergibt sich das Ergebnis, dass der Gesamtfluss gleich der gesamten Ladung des Systems ist, was den Gauß'schen Satz beweist.

Beweis des Gauß'schen Satzes

Betrachten wir einen Punktladung Q, die sich in einem homogenen, isotropen Medium mit Permittivität ε befindet.

Die elektrische Feldstärke an einem beliebigen Punkt im Abstand r von der Ladung ist

Die Flussdichte ist gegeben durch:

Aus der Abbildung ergibt sich der Fluss durch die Fläche dS:

Dabei ist θ der Winkel zwischen D und der Normalen zu dS.
dScosθ ist die Projektion von dS, die normal zum Radiusvektor ist. Nach Definition des Raumwinkels:

Dabei ist dΩ der Raumwinkel, den die elementare Fläche dS am Punkt Q einschließt. Der gesamte Fluss durch die gesamte Oberfläche ist dann:

Da der Raumwinkel, den eine geschlossene Oberfläche einschließt, 4π Steradiant beträgt, ist der gesamte elektrische Fluss durch die gesamte Oberfläche:

Dies ist die Integralform des Gauß'schen Satzes. Damit ist der Satz bewiesen.

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