Θεώρημα του Gauss

Γνωρίζουμε ότι υπάρχει πάντα ένα στατικό ηλεκτρικό πεδίο γύρω από θετική ή αρνητική ηλεκτρική φορτία και σε αυτό το στατικό ηλεκτρικό πεδίο υπάρχει ένα ρεύμα ενέργειας ή φλοξ. Στην πραγματικότητα, αυτό το φλοξ ακτινοβολεί/εκπέμπεται από το ηλεκτρικό φορτίο. Τώρα, η ποσότητα αυτού του ρέματος φλοξ εξαρτάται από την ποσότητα του φορτίου από το οποίο εκπέμπεται. Για να βρεθεί αυτή η σχέση, εισήχθη η Θεώρημα του Gauss. Αυτό το θεώρημα μπορεί να θεωρηθεί ως ένα από τα πιο δυνατά και χρήσιμα θεωρήματα στο πεδίο της ηλεκτρικής επιστήμης. Μπορούμε να βρούμε την ποσότητα του φλοξ που ακτινοβολεί μέσω της επιφάνειας που περιβάλλει το φορτίο από αυτό το θεώρημα.

Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι το συνολικό ηλεκτρικό φλοξ μέσω οποιασδήποτε κλειστής επιφάνειας που περιβάλλει ένα φορτίο, είναι ίσο με το συνολικό θετικό φορτίο που περιβάλλεται από αυτή την επιφάνεια.
Υποθέτουμε ότι τα φορτία Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn περιβάλλονται από μια επιφάνεια, τότε το θεώρημα μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά με επιφανειακό ολοκλήρωμα ως

Όπου, D είναι η πυκνότητα φλοξ σε coulombs/m2 και dS είναι ο διανυσματικός που σημαίνει προς τα έξω.

Εξήγηση του Θεωρήματος του Gauss

Για την εξήγηση του Θεωρήματος του Gauss, είναι καλύτερο να περάσουμε μέσα από ένα παράδειγμα για καλύτερη κατανόηση.
Ας είναι Q το φορτίο στο κέντρο μιας σφαίρας και το φλοξ που εκπέμπεται από το φορτίο είναι κάθετο στην επιφάνεια. Τώρα, αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι το συνολικό φλοξ που εκπέμπεται από το φορτίο θα είναι ίσο με Q coulombs και αυτό μπορεί να αποδειχθεί μαθηματικά. Αλλά τι συμβαίνει όταν το φορτίο δεν βρίσκεται στο κέντρο αλλά σε οποιαδήποτε άλλη θέση εκτός του κέντρου (όπως φαίνεται στο σχήμα).

Σε αυτή τη στιγμή, οι γραμμές φλοξ δεν είναι κάθετες στην επιφάνεια που περιβάλλει το φορτίο, τότε αυτό το φλοξ διασπάται σε δύο συνιστώσες που είναι κάθετες μεταξύ τους, η οριζόντια είναι η συνιστώσα sinθ και η κάθετη είναι η συνιστώσα cosθ. Τώρα, όταν λαμβάνεται η άθροιση αυτών των συνιστωσών για όλα τα φορτία, τότε το συνολικό αποτέλεσμα είναι ίσο με το συνολικό φορτίο του συστήματος, το οποίο αποδεικνύει το Θεώρημα του Gauss.

Απόδειξη του Θεωρήματος του Gauss

Ας θεωρήσουμε ένα σημειακό φορτίο Q που βρίσκεται σε ένα ομοιόμορφο ισότροπο περιβάλλον με επιτροπικότητα ε.

Η ισχύς ή ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε οποιοδήποτε σημείο σε απόσταση r από το φορτίο είναι

Η πυκνότητα φλοξ δίνεται ως,

Τώρα, από το σχήμα, το φλοξ μέσω της επιφάνειας dS

Όπου, θ είναι ο γωνία μεταξύ D και της κάθετης στο dS.
Τώρα, dScosθ είναι η προβολή του dS κάθετη στον ακτίνιο διάνυσμα. Σύμφωνα με τον ορισμό της στερεάς γωνίας

Όπου, dΩ είναι η στερεά γωνία που υποτείνεται στο Q από την ελεγχερή επιφάνεια dS. Έτσι, η συνολική μετατόπιση του φλοξ μέσω όλης της επιφάνειας είναι

Τώρα, γνωρίζουμε ότι η στερεά γωνία που υποτείνεται από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια είναι 4π στερεάντια, έτσι το συνολικό ηλεκτρικό φλοξ μέσω όλης της επιφάνειας είναι

Αυτή είναι η ολοκληρωματική μορφή του Θεωρήματος του Gauss. Και έτσι αυτό το θεώρημα αποδείχθηκε.

Δήλωση: Σεβαστείτε το αρχικό, καλοί άρθροι αξίζουν κοινή χρήση, εάν