Teorema de Gauss

Sabemos que sempre há um campo elétrico estático ao redor de uma carga elétrica positiva ou negativa e nesse campo elétrico estático há um fluxo de tubo de energia ou fluxo. Na verdade, este fluxo é irradiado/emana da carga elétrica. Agora, a quantidade deste fluxo depende da quantidade de carga a partir da qual está emanando. Para descobrir esta relação, o Teorema de Gauss foi introduzido. Este teorema pode ser considerado um dos mais poderosos e úteis no campo da ciência elétrica. Podemos descobrir a quantidade de fluxo irradiado através da área de superfície que envolve a carga a partir deste teorema.

Este teorema afirma que o total de fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada que envolve uma carga, é igual à carga positiva líquida contida por essa superfície.
Suponha que as cargas Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn estão contidas por uma superfície, então o teorema pode ser expresso matematicamente pela integral de superfície como

Onde, D é a densidade de fluxo em coulombs/m2 e dS é o vetor orientado para fora.

Explicação do Teorema de Gauss

Para explicar o Teorema de Gauss, é melhor passar por um exemplo para compreensão adequada.
Seja Q a carga no centro de uma esfera e o fluxo emanado da carga é normal à superfície. Agora, este teorema afirma que o total de fluxo emanado da carga será igual a Q coulombs e isso pode ser provado matematicamente também. Mas e quando a carga não está colocada no centro, mas em qualquer ponto diferente do centro (como mostrado na figura).

Nesse caso, as linhas de fluxo não são normais à superfície que envolve a carga, então esse fluxo é resolvido em duas componentes que são perpendiculares entre si, a horizontal é a componente sinθ e a vertical é a componente cosθ. Agora, quando a soma dessas componentes é tomada para todas as cargas, o resultado líquido é igual à carga total do sistema, o que prova o Teorema de Gauss.

Prova do Teorema de Gauss

Consideremos uma carga pontual Q localizada em um meio homogêneo isotrópico de permissividade ε.

A intensidade do campo elétrico em qualquer ponto a uma distância r da carga é

A densidade de fluxo é dada por,

Agora, a partir da figura, o fluxo através da área dS

Onde, θ é o ângulo entre D e a normal a dS.
Agora, dScosθ é a projeção de dS normal ao vetor radial. Pela definição de um ângulo sólido

Onde, dΩ é o ângulo sólido subtendido em Q pela área superficial elementar dS. Portanto, o deslocamento total de fluxo através da área superficial inteira é

Agora, sabemos que o ângulo sólido subtendido por qualquer superfície fechada é 4π esterradianos, então o fluxo elétrico total através da superfície inteira é

Esta é a forma integral do Teorema de Gauss. E, portanto, este teorema é provado.

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