گاؤس کا مسئلہ اثباتی

ہم جانتے ہیں کہ مثبت یا منفی برقی شارژ کے گرد ہمیشہ ایک سٹیٹک برقی میدان موجود ہوتا ہے اور اس سٹیٹک برقی میدان میں توانائی کا نالا یا فلکس کا پتلا ہوتا ہے۔ دراصل یہ فلکس برقی شارژ سے ریڈیئیٹ ہوتا ہے۔ اب اس فلکس کے پتلے کی مقدار کا انحصار اس شارژ پر ہوتا ہے جو اس سے نکلتا ہے۔ اس تعلق کو معلوم کرنے کے لیے، گاؤسس کا قضیہ متعارف کرایا گیا تھا۔ اس قضیہ کو برقی سائنس کے شعبے میں سب سے زیادہ طاقتور اور مفید قضیہ مانا جاتا ہے۔ ہم یہ قضیہ استعمال کرتے ہوئے شارژ کے گرد کے سطحی علاقے سے ریڈیئیٹ ہونے والے فلکس کی مقدار معلوم کر سکتے ہیں۔

یہ قضیہ بتاتا ہے کہ کسی بند سطح کے گرد کسی شارژ کے گرد کے کل برقی فلکس کی مقدار وہ سطح کے ذریعہ محفوظ کردہ صاف مثبت شارژ کے برابر ہوتی ہے۔
فرض کریں کہ شارژ Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn کسی سطح کے ذریعہ محفوظ ہیں، تو یہ قضیہ ریاضیاتی طور پر سطحی تکامل کے ذریعہ درج ذیل طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے

جہاں، D کولوم/میٹر2 میں فلکس کثافت ہے اور dS باہر کی جانب مائل ویکٹر ہے۔

گاؤسس کے قضیہ کی وضاحت

گاؤسس کے قضیہ کی وضاحت کے لیے، ایک مثال کے ذریعہ صحیح فہم کرنے کے لیے بہتر ہے۔
فرض کریں کہ Q کسی کروہ کے مرکز پر شارژ ہے اور اس شارژ سے نکلنے والا فلکس سطح کے عمودی ہے۔ اب یہ قضیہ بتاتا ہے کہ شارژ سے نکلنے والا کل فلکس Q کولوم کے برابر ہوگا اور یہ ریاضیاتی طور پر ثابت کیا جا سکتا ہے۔ لیکن اگر شارژ مرکز پر نہ ہو بلکہ کسی دوسرے مقام پر ہو (چیت میں دکھایا گیا ہے)۔

اس وقت، فلکس کی لکیریں سطح کے عمودی نہیں ہوتیں، تو یہ فلکس دو حصوں میں حل ہوتا ہے جو آپس میں عمودی ہوتے ہیں، افقی حصہ sinθ کا ہوتا ہے اور عمودی حصہ cosθ کا ہوتا ہے۔ اب جب یہ تمام شارجز کے لیے یہ حصے کیا جاتا ہے تو صاف نتیجہ کل نظام کا کل شارج کے برابر ہوتا ہے جس سے گاؤسس کا قضیہ ثابت ہوتا ہے۔

گاؤسس کے قضیہ کا ثبوت

ہم ایک نقطہ شارژ Q کو فرض کرتے ہیں جو ε کی معمولی ایزوٹروپک میڈیم میں واقع ہے۔

شارژ سے کسی بھی نقطہ پر جو r کی دوری پر ہے، برقی میدان کی شدت یہ ہے

فلکس کثافت یہ ہے،

اب چیت کے مطابق dS کے ذریعہ فلکس

جہاں، θ D اور dS کے معمولی کے درمیان زاویہ ہے۔
اب، dScosθ dS کا پروجیکشن ہے جو ردیوس ویکٹر کے عمودی ہے۔ سینڈ اینگل کی تعریف کے مطابق

جہاں، dΩ dS کے بنیادی سطح کے ذریعہ Q پر بنایا گیا سینڈ اینگل ہے۔ تو کل فلکس کا ڈسپلیسمینٹ سطح کے ذریعہ یہ ہے

اب، ہم جانتے ہیں کہ کسی بھی بند سطح کے ذریعہ بنایا گیا سینڈ اینگل 4π سٹیریڈین ہوتا ہے، تو کل برقی فلکس کل سطح کے ذریعہ یہ ہے

یہ گاؤسس کے قضیہ کی تکاملی شکل ہے۔ اور اس طرح یہ قضیہ ثابت ہوتا ہے۔

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.