गाउस प्रमेय

हम जानते हैं कि एक धनात्मक या ऋणात्मक विद्युत आवेश के चारों ओर सदैव एक स्थैतिक विद्युत क्षेत्र मौजूद रहता है और उस स्थैतिक विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा ट्यूब या फ्लक्स का प्रवाह होता है। वास्तव में, यह फ्लक्स विद्युत आवेश से उत्पन्न/प्रस्फुटित होता है। अब इस फ्लक्स के प्रवाह की मात्रा उस आवेश पर निर्भर करती है जिससे यह उत्पन्न हो रहा है। इस संबंध को जानने के लिए, गाउस का प्रमेय पेश किया गया था। यह प्रमेय विद्युत विज्ञान के क्षेत्र में सबसे शक्तिशाली और उपयोगी प्रमेयों में से एक माना जाता है। हम इस प्रमेय से आवेश के चारों ओर के सतह क्षेत्र से उत्सर्जित फ्लक्स की मात्रा ज्ञात कर सकते हैं।

यह प्रमेय कहता है कि किसी भी बंद सतह जो एक आवेश को घेरती है, से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस सतह द्वारा घेरे गए शुद्ध धनात्मक आवेश के बराबर होता है।
मान लीजिए कि Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn एक सतह द्वारा घेरे गए हैं, तो इस प्रमेय को गणितीय रूप से सतह समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

जहाँ, D कोलं/मी2 में फ्लक्स घनत्व है और dS बाहर की ओर दिष्ट सदिश है।

गाउस के प्रमेय की व्याख्या

गाउस के प्रमेय की व्याख्या करने के लिए, उचित समझ के लिए एक उदाहरण से गुजरना बेहतर है।
मान लीजिए Q एक गोले के केंद्र पर आवेश है और आवेश से उत्पन्न फ्लक्स सतह के लंबवत है। अब, यह प्रमेय कहता है कि आवेश से उत्पन्न कुल फ्लक्स Q कोलंब होगा और यह गणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है। लेकिन यदि आवेश केंद्र पर नहीं बल्कि किसी अन्य बिंदु पर (चित्र में दिखाए गए जैसे) है तो क्या होगा?

उस समय, फ्लक्स रेखाएँ सतह के लंबवत नहीं होती हैं, तो यह फ्लक्स दो घटकों में विघटित हो जाता है जो एक दूसरे के लंबवत होते हैं, क्षैतिज वाला sinθ घटक और ऊर्ध्वाधर वाला cosθ घटक। अब जब इन घटकों का योग सभी आवेशों के लिए लिया जाता है, तो नेट परिणाम पूरे प्रणाली के कुल आवेश के बराबर होता है जो गाउस के प्रमेय को सिद्ध करता है।

गाउस के प्रमेय का प्रमाण

आइए हम एक बिंदु आवेश Q को ध्यान में लें, जो एक समान और एकसमान माध्यम में स्थित है जिसकी विद्युत अनुपात एप्सिलन ε है।

किसी बिंदु पर आवेश से दूरी r पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता

फ्लक्स घनत्व दिया गया है,

अब चित्र से dS के माध्यम से फ्लक्स

जहाँ, θ D और dS के लंबवत के बीच का कोण है।
अब, dScosθ dS का प्रक्षेप त्रिज्या वेक्टर के लंबवत है। ठोस कोण की परिभाषा के अनुसार

जहाँ, dΩ एलीमेंटरी सतह क्षेत्र dS द्वारा Q पर बनाया गया ठोस कोण है। इसलिए पूरी सतह क्षेत्र पर फ्लक्स का कुल विस्थापन है

अब, हम जानते हैं कि किसी भी बंद सतह द्वारा बनाया गया ठोस कोण 4π स्टेरेडियन होता है, इसलिए पूरी सतह पर कुल विद्युत फ्लक्स है

यह गाउस के प्रमेय का समाकलन रूप है। इस प्रकार यह प्रमेय सिद्ध हो जाता है।

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