Teorema de Gauss

Sabem que sempre hi ha un camp elèctric estàtic al voltant d'una càrrega elèctrica positiva o negativa i, en aquest camp elèctric estàtic, hi ha un flux d'energia o flux. En realitat, aquest flux es radiï o emana de la càrrega elèctrica. Ara bé, la quantitat d'aquest flux depèn de la quantitat de càrrega que l'emana. Per trobar aquesta relació, es va introduir el teorema de Gauss. Aquest teorema es pot considerar com un dels més poderosos i útils en el camp de la ciència elèctrica. Podem determinar la quantitat de flux radiada a través de l'àrea superficial que envolta la càrrega mitjançant aquest teorema.

Aquest teorema afirma que el flux elèctric total a través de qualsevol superfície tancada que envolqui una càrrega, és igual a la càrrega neta positiva envolupada per aquesta superfície.
Suposem que les càrregues Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn són envoltades per una superfície, llavors el teorema es pot expressar matemàticament mitjançant una integral de superfície com

On, D és la densitat de flux en coulombs/m2 i dS és el vector dirigit cap a fora.

Explicació del teorema de Gauss

Per explicar el teorema de Gauss, és millor passar per un exemple per entendre-ho millor.
Aixeguem que Q és la càrrega al centre d'una esfera i el flux emanat de la càrrega és normal a la superfície. Ara, aquest teorema diu que el flux total emanat de la càrrega serà igual a Q coulombs i això es pot demostrar també matemàticament. Però, què passa quan la càrrega no està al centre sinó a qualsevol altre punt (com es mostra a la figura).

En aquest cas, les línies de flux no són normals a la superfície que envolta la càrrega, llavors aquest flux es resol en dos components perpendiculars, el component horitzontal és el component sinθ i el component vertical és el component cosθ. Ara, quan es pren la suma d'aquests components per a totes les càrregues, el resultat net és igual a la càrrega total del sistema, el que demostra el teorema de Gauss.

Demostració del teorema de Gauss

Considerem una càrrega puntual Q situada en un medi homogeni i isotròpic amb permittivitat ε.

L'intensitat del camp elèctric en qualsevol punt a una distància r de la càrrega és

La densitat de flux es dóna com,

Ara, segons la figura, el flux a través de l'àrea dS

On, θ és l'angle entre D i la normal a dS.
Ara, dScosθ és la projecció de dS normal al vector radial. Per definició d'un angle sòlid

On, dΩ és l'angle sòlid subtendit a Q per la superfície elemental dS. Així, el desplaçament total de flux a través de tota l'àrea superficial és

Ara, sabem que l'angle sòlid subtendit per qualsevol superfície tancada és 4π estereorradians, així que el flux elèctric total a través de tota la superfície és

Aquesta és la forma integral del teorema de Gauss. I, per tant, aquest teorema queda demostrat.

Declaració: Respecteu l'original, els bons articles mériten ser compartits, si hi ha infracció de drets d'autor contacteu per eliminar-lo.