Теорема на Гаус

Знаем, че около положителен или отрицателен електричен заряд винаги има статично електрическо поле и в това статично електрическо поле има поток на енергийната труба или flux. Всъщност този flux се излъчва/излъчва от електричния заряд. Сега количеството на този поток flux зависи от количеството заряд, от който се излъчва. За да намерим тази връзка, беше въведена теоремата на Гаус. Тази теорема може да бъде разглеждана като една от най-мощните и най-полезните теореми в областта на електротехниката. Можем да намерим количеството flux, което се излъчва през повърхността, обграждаща заряда, от тази теорема.

Тази теорема твърди, че общият electric flux през всяка затворена повърхност, обграждаща заряд, е равен на общия положителен заряд, обграждан от тази повърхност.
Да предположим, че зарядите Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn са обградени от повърхност, тогава теоремата може да бъде изразена математически чрез повърхностен интеграл като

Където, D е flux плътността в кулоуми/м2 и dS е векторът, насочен навън.

Обяснение на теоремата на Гаус

За обяснение на теоремата на Гаус, по-добре е да преминем през пример за правилно разбиране.
Нека Q е зарядът в центъра на сфера и flux, излъчван от заряда, е нормален към повърхността. Сега, тази теорема твърди, че общият flux, излъчван от заряда, ще бъде равен на Q кулоума и това може да бъде доказано математически. Но какво, ако зарядът не е поставен в центъра, а на друга точка, различна от центъра (както е показано на фигурата).

В този случай, линиите на flux не са нормални към повърхността, обграждаща заряда, тогава този flux се разделя на две компоненти, перпендикулярни една на друга, хоризонталната е sinθ компонентата, а вертикалната е cosθ компонентата. Когато сумата на тези компоненти се вземе за всички заряди, то нетният резултат е равен на общия заряд на системата, което доказва теоремата на Гаус.

Доказателство на теоремата на Гаус

Нека разгледаме точков заряд Q, разположен в хомогенно изотропно среда с диелектрична проницаемост ε.

Електричната интензивност на всяка точка на разстояние r от заряда е

Плътността на flux е дадена като,

Сега, от фигурата, flux през площта dS

Където, θ е ъгълът между D и нормалата към dS.
Сега, dScosθ е проекцията на dS, нормална към радиусния вектор. По определение на твърд ъгъл

Където, dΩ е твърдият ъгъл, образуван от Q от елементарната повърхностна площ dS. Така общото разместяване на flux през цялата повърхностна площ е

Сега, знаем, че твърдият ъгъл, образуван от всяка затворена повърхност, е 4π стерадиана, така че общият електрически flux през цялата повърхност е

Това е интегралната форма на теоремата на Гаус. И така, тази теорема е доказана.

Изявление: Уважавайте оригинала, добри статии са стойни за споделяне, ако има нарушение на правата в собствеността, моля се обратете за изтриване.