نظریه گاوس

ما می‌دانیم که همیشه یک میدان الکتریکی ثابت در اطراف بار الکتریکی مثبت یا منفی وجود دارد و در آن میدان الکتریکی ثابت، جریان لوله انرژی یا پخش وجود دارد. در واقع این پخش از بار الکتریکی تابیده/تصادی شده است. حالا مقدار این جریان پخش بستگی به مقدار باری دارد که از آن تصادی می‌شود. برای یافتن این رابطه، قضیه گاوس معرفی شد. این قضیه می‌تواند به عنوان یکی از قدرتمندترین و مفیدترین قضایا در زمینه علم الکتریکی در نظر گرفته شود. ما می‌توانیم مقدار پخش تابیده شده از طریق سطح محاطی اطراف بار را از این قضیه پیدا کنیم.

این قضیه بیان می‌کند که مجموع پخش الکتریکی از طریق هر سطح بسته محاطی که بار را احاطه می‌کند، برابر با مجموع بار مثبت محاط شده توسط آن سطح است.
فرض کنید بارها Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn توسط یک سطح محاط شده‌اند، در این صورت قضیه را می‌توان به صورت انتگرال سطحی بیان کرد

که در آن D چگالی پخش در کولوم/متر2 است و dS بردار خارجی است.

توضیح قضیه گاوس

برای توضیح قضیه گاوس، بهتر است از یک مثال برای درک صحیح عبور کنیم.
فرض کنید Q باری در مرکز یک کره باشد و پخش تصادی شده از بار عمود بر سطح باشد. حالا، این قضیه بیان می‌کند که مجموع پخش تصادی شده از بار برابر با Q کولوم خواهد بود و این می‌تواند به صورت ریاضی نیز اثبات شود. اما اگر بار در مرکز قرار نگیرد و در نقطه‌ای دیگر (مانند شکل) قرار گیرد.

در آن زمان، خطوط پخش عمود بر سطح محاطی بار نخواهند بود، بنابراین این پخش به دو مؤلفه تجزیه می‌شود که عمود بر هم هستند، مؤلفه افقی sinθ و مؤلفه عمودی cosθ. حالا وقتی مجموع این مؤلفه‌ها برای تمام بارها گرفته می‌شود، نتیجه نهایی برابر با مجموع بارهای سیستم خواهد بود که قضیه گاوس را اثبات می‌کند.

اثبات قضیه گاوس

بیایید یک بار نقطه‌ای Q را در نظر بگیریم که در یک محیط همگن و یکسان با پرمیتیویت ε قرار دارد.

شدت میدان الکتریکی در هر نقطه در فاصله r از بار است

چگالی پخش به صورت زیر است،

حالا از شکل، پخش از طریق مساحت dS است

که در آن θ زاویه بین D و عمود بر dS است.
حالا dScosθ تصویر dS عمود بر بردار شعاعی است. با تعریف زاویه جامد

که در آن dΩ زاویه جامدی است که توسط مساحت سطحی ابتدایی dS در Q تشکیل می‌شود. بنابراین جابجایی کلی پخش از طریق کل سطح است

حالا، می‌دانیم که زاویه جامدی که توسط هر سطح بسته تشکیل می‌شود 4π استرادیان است، بنابراین پخش الکتریکی کلی از طریق کل سطح است

این شکل انتگرالی قضیه گاوس است. و بنابراین این قضیه اثبات می‌شود.

بیانیه: احترام به مقالات اصلی، مقالات خوبی که شایسته به اشتراک گذاری هستند، اگر نقض حق تکثیر وجود دارد لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.