가우스 정리

우리는 항상 양전하 또는 음전하 주변에 정전기장이 존재하고, 그 정전기장 내에는 에너지 튜브 또는 플럭스가 흐른다는 것을 알고 있습니다. 실제로 이 플럭스는 전하에서 방사됩니다. 이제 이러한 플럭스의 흐름량은 그것이 방사되는 전하의 양에 따라 달라집니다. 이 관계를 알아내기 위해 가우스의 정리가 도입되었습니다. 이 정리는 전기 과학 분야에서 가장 강력하고 유용한 정리 중 하나로 간주될 수 있습니다. 이 정리를 통해 전하 주변의 표면을 통과하는 플럭스의 양을 알아낼 수 있습니다.

이 정리는 어떤 폐곡면을 둘러싸고 있는 총 전기 플럭스가 그 표면을 둘러싸고 있는 순전하와 같다는 것을 말합니다.
Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn의 전하들이 어떤 표면에 둘러싸여 있다고 가정하면, 이 정리는 다음과 같이 표면 적분으로 표현할 수 있습니다.

여기서, D는 쿨롱/미터2 단위의 플럭스 밀도이고, dS는 바깥쪽으로 지향된 벡터입니다.

가우스의 정리 설명

가우스의 정리를 설명하기 위해서는 예제를 통해 이해하는 것이 좋습니다.
구의 중심에 위치한 전하 Q에서 방사되는 플럭스가 표면에 수직으로 방사되는 경우, 이 정리는 전하에서 방사되는 총 플럭스가 Q 쿨롱과 같다고 말합니다. 이는 수학적으로도 증명할 수 있습니다. 그러나 전하가 중심이 아닌 다른 점에 위치할 때는 어떨까요 (그림 참조).

그런 경우, 플럭스 선은 전하를 둘러싼 표면에 수직하지 않으므로, 이 플럭스는 서로 수직인 두 개의 성분으로 분해됩니다. 수평 성분은 sinθ 성분이며, 수직 성분은 cosθ 성분입니다. 이러한 성분들의 합을 모든 전하에 대해 취하면, 그 결과는 시스템의 총 전하와 같아져 가우스의 정리를 증명합니다.

가우스의 정리 증명

균질 등방성 매질(전기 허용도 ε)에 위치한 점 전하 Q를 고려해 보겠습니다.

전하로부터 거리 r인 어떤 점에서의 전기장 강도는

플럭스 밀도는 다음과 같습니다.

그림에서 dS 면적을 통과하는 플럭스는

여기서, θ는 D와 dS의 법선 사이의 각입니다. dScosθ는 반경 벡터에 수직으로 dS의 투영입니다. 입체각의 정의에 따르면

여기서, dΩ는 dS의 요소 표면에서 Q에 의해 형성되는 입체각입니다. 따라서 전체 표면을 통과하는 플럭스의 총 변위는

어떤 폐곡면이 형성하는 입체각은 4π 스테라디안임을 알 수 있으므로, 전체 표면을 통과하는 총 전기 플럭스는

이것이 가우스의 정리의 적분 형태입니다. 따라서 이 정리는 증명되었습니다.

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