Gauss-setningin

Vitum er að það sé alltaf stöðva elektrískt svæði um einhverja jákvæða eða neikvæða rafmagnsauka og í því stöðva elektrísku svæðinu er straum af orkuhring eða flæði. Þetta flæði fer út frá rafmagnsaukunni. Stærð flæðisins sem fer út frá aukanum hækkar eða lækkar eftir magni auksunnar. Til að finna þessa tengsl var Gauss-setningin kynnt. Þessi setning gæti verið telin fyrir að vera ein af ofurstaðgengnustu og notuðu setningunum í rafmagnsvísindum. Við getum reiknað stærð flæðisins sem fer út gegnum flatarmál sem umkrýftar auksuna með þessari setningu.

Setningin segir að heildarrafmagnsflæði gegnum hvaða lokuð yfirborð sem er umkrýftar auksu, er jafnt netógu jákvæðri auksu innan þess yfirborðs.
Gerum ráð fyrir að auksurnar Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn eru innan yfirborðs, þá má setningin vera skilgreind með flatarmálsheildi sem

Þar sem D er flæðisdotti í coulombs/m2 og dS er útvísandi vigur.

Útskýring á Gauss-setningunni

Til að útskýra Gauss-setninguna, er best að fara í gegnum dæmi til betri skilgreiningar.
Látum Q vera auksu í miðju hnútur og flæði sem fer út frá auksunni sé hornrétt við yfirborðið. Nú segir setningin að heildarflæði sem fer út frá auksunni verði jafnt Q coulombs og þetta má sanna stærðfræðilega. En hvað ef auksan er ekki sett í miðju heldur einhver staður annar en í miðju ( eins og sýnt er í myndinni).

Á þeim tíma er flæðið ekki hornrétt við yfirborðið sem umkrýftar auksuna, þá er flæðið skipt í tvær samþátta, hvort tveggja hornrétt við hvor annað, vinstri er sinθ samþætti og hægri er cosθ samþætti. Þegar summan af þessum samþættum er tekin fyrir allar auksurnar, þá er netútkoman jöfn heildaraukkanum sem beitir Gauss-setningunni.

Sönnun Gauss-setningarinnar

Látum okkur hugsa um punkt-auku Q í homógenum, isotrópum miðli með permittivity ε.

Rafmagnsfjöldi á einhverju punkti í fjarlægð r frá aukunni er

Flæðisdotti er gefið sem,

Núna eftir myndina er flæðið gegnum flatarmál dS

Þar sem θ er hornið milli D og hornrétt við dS.
Nú, dScosθ er projektið af dS sem er hornrétt við radíusvektorn. Eftir skilgreiningu sterkrings

Þar sem dΩ er sterkringshorni sem er skýrt af Q af grunnflatarmálinu dS. Svo heildarflæðið gegnum allt flatarmál er

Nú, vitum við að sterkringshornið sem er skýrt af allt lokuð flatarmál er 4π steradians, svo heildarrafmagnsflæðið gegnum allt flatarmál er

Þetta er heildarformi Gauss-setningarinnar. Og þannig er setningin sönnuð.

Yfirlýsing: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.