ガウスの定理

私たちは、正または負の電荷の周囲には常に静電場が存在し、その静電場内にはエネルギーチューブまたはフラックスがあることを知っています。実際、このフラックスは電荷から放射されます。このフラックスの流れの量は、それが放射されている電荷の量に依存します。この関係を明らかにするために、ガウスの定理が導入されました。この定理は、電気科学分野で最も強力かつ有用な定理の一つと考えることができます。この定理を使用して、電荷を取り囲む表面積を通じて放射されるフラックスの量を求めることができます。

この定理は、電荷を取り囲む任意の閉曲面を通る総電気フラックスが、その曲面によって取り囲まれている純粋な正電荷に等しいことを述べています。
例えば、Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn が曲面によって取り囲まれている場合、この定理は数学的に次のように表すことができます

ここで、D はクーロン/メートル2 でのフラックス密度であり、dS は外向きに向けられたベクトルです。

ガウスの定理の説明

ガウスの定理を説明するためには、適切に理解するために例を用いるのが良いでしょう。
球の中心に電荷 Q があり、そこから放出されるフラックスが表面に対して垂直であるとします。この定理は、電荷から放出される総フラックスが Q クーロンに等しくなることを述べています。これは数学的にも証明できます。しかし、電荷が中心ではなく他の位置にある場合はどうでしょうか。

その場合、フラックス線は電荷を取り囲む表面に対して垂直ではなくなります。すると、このフラックスは互いに直交する2つの成分（水平成分と垂直成分）に分解されます。これらの成分の合計をすべての電荷に対して取ると、結果として得られるのはシステム全体の総電荷となり、これがガウスの定理を証明します。

ガウスの定理の証明

許容率 ε の均一かつ等方的な媒質中に点電荷 Q があると仮定します。

距離 r にある任意の点での電界強度は

フラックス密度は次のように与えられます。

図から、dS 通過するフラックスは

ここで、θ は D と dS の法線との間の角度です。
dScosθ は dS の半径ベクトルに対する投影です。立体角の定義により

ここで、dΩ は要素表面積 dS によって Q で作られる立体角です。したがって、全表面積を通るフラックスの移動量は

任意の閉曲面が作る立体角は 4π ステラジアンであることを知っているので、全表面を通る電気フラックスは

これがガウスの定理の積分形式です。これにより、この定理が証明されます。

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