গাউসের উপপাদ্য

আমরা জানি যে, একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক বিদ্যুৎ চার্জের চারপাশে সবসময় একটি স্থির বিদ্যুৎ ক্ষেত্র থাকে এবং ঐ স্থির বিদ্যুৎ ক্ষেত্রে একটি শক্তি টিউব বা ফ্লাক্স প্রবাহিত হয়। আসলে এই ফ্লাক্স বিদ্যুৎ চার্জ থেকে উদ্ভূত হয়। এখন, এই ফ্লাক্সের প্রবাহের পরিমাণ তার থেকে উদ্ভূত হওয়া চার্জের পরিমাণের উপর নির্ভর করে। এই সম্পর্ক খুঁজতে, গাউসের উপপাদ্য প্রবর্তিত হয়। এই উপপাদ্যটি বিদ্যুৎ বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে সবচেয়ে শক্তিশালী ও সবচেয়ে উপযোগী উপপাদ্যগুলির মধ্যে একটি হিসেবে বিবেচিত হতে পারে। আমরা এই উপপাদ্য থেকে চার্জের চারপাশে বেষ্টিত পৃষ্ঠ ক্ষেত্রের মাধ্যমে প্রচ্ছিত ফ্লাক্সের পরিমাণ বের করতে পারি।

এই উপপাদ্যটি বলে যে, যেকোনো বন্ধ পৃষ্ঠ যা একটি চার্জ ঘিরে রয়েছে, তার মাধ্যমে প্রবাহিত মোট বিদ্যুৎ ফ্লাক্স সেই পৃষ্ঠ দ্বারা বেষ্টিত মোট ইতিবাচক চার্জের সমান।
ধরা যাক, চার্জ Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn একটি পৃষ্ঠ দ্বারা বেষ্টিত, তাহলে উপপাদ্যটি গাণিতিকভাবে পৃষ্ঠ সমাকলনের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়

যেখানে, D হল কুলম্ব/মিটার^2 এ ফ্লাক্স ঘনত্ব এবং dS হল বাইরের দিকে পরিচালিত ভেক্টর।

গাউসের উপপাদ্যের ব্যাখ্যা

গাউসের উপপাদ্যটি ব্যাখ্যা করার জন্য, একটি উদাহরণ দিয়ে যাওয়া ভাল হবে যাতে বোঝা সহজ হয়।
ধরা যাক, Q হল একটি গোলকের কেন্দ্রে একটি চার্জ এবং এই চার্জ থেকে উদ্ভূত হওয়া ফ্লাক্স পৃষ্ঠের লম্ব। এখন, এই উপপাদ্যটি বলে যে, চার্জ থেকে উদ্ভূত হওয়া মোট ফ্লাক্স Q কুলম্বের সমান হবে এবং এটি গাণিতিকভাবেও প্রমাণ করা যায়। কিন্তু যখন চার্জ কেন্দ্রে না থাকে, বরং কেন্দ্রের বাইরে অন্য কোথাও থাকে (চিত্রে দেখানো হয়েছে) তখন কী হবে?

তখন, ফ্লাক্স লাইনগুলি চার্জকে ঘিরে থাকা পৃষ্ঠের লম্ব নয়, তাই এই ফ্লাক্সকে দুটি অংশে বিভক্ত করা হয় যা পরস্পর লম্ব, অর্থাৎ অনুভূমিক অংশ হল sinθ এবং উল্লম্ব অংশ হল cosθ। এখন, সমস্ত চার্জের জন্য এই অংশগুলির যোগফল নেওয়া হলে, নেট ফলাফল হবে সিস্টেমের মোট চার্জ, যা গাউসের উপপাদ্যটি প্রমাণ করে।

গাউসের উপপাদ্যের প্রমাণ

ধরা যাক, একটি বিন্দু চার্জ Q একটি সমান এবং সমান্তরাল মাধ্যমে অবস্থিত, যার সান্দ্রতা ε।

চার্জ থেকে r দূরত্বে যেকোনো বিন্দুতে বিদ্যুৎ ক্ষেত্রের তীব্রতা হল

ফ্লাক্স ঘনত্ব হল,

এখন চিত্র থেকে দেখা যায়, dS এর মাধ্যমে প্রবাহিত ফ্লাক্স

যেখানে, θ হল D এবং dS এর লম্বের মধ্যে কোণ।
এখন, dScosθ হল dS এর লম্ব প্রক্ষেপ। একটি ঘন কোণের সংজ্ঞানুযায়ী

যেখানে, dΩ হল Q বিন্দুতে একটি ক্ষুদ্র পৃষ্ঠ dS দ্বারা সৃষ্ট ঘন কোণ। তাই, পুরো পৃষ্ঠ ক্ষেত্রের মাধ্যমে প্রবাহিত ফ্লাক্স হল

এখন, আমরা জানি যে, যেকোনো বন্ধ পৃষ্ঠ দ্বারা সৃষ্ট ঘন কোণ 4π স্টেরেডিয়ান, তাই পুরো পৃষ্ঠ ক্ষেত্রের মাধ্যমে প্রবাহিত মোট বিদ্যুৎ ফ্লাক্স হল

এটি হল গাউসের উপপাদ্যের সমাকলন রূপ। এবং তাই এই উপপাদ্যটি প্রমাণিত হয়।

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.