Gaussova věta

Víme, že kolem kladného nebo záporného elektrického náboje vždy existuje statické elektrické pole a v tomto statickém elektrickém poli existuje proudový trubice nebo flux. Ve skutečnosti je tento flux vyzařován/emitován z elektrického náboje. Nyní množství tohoto proudu fluxu závisí na množství náboje, ze kterého je emitován. Pro zjištění této relace byla představena Gaussova věta. Tato věta může být považována za jednu z nejmocnějších a nejužitečných vět v oblasti elektrotechniky. Pomocí této věty můžeme zjistit množství fluxu, který je vyzařován prostřednictvím povrchové plochy obklopující náboj.

Tato věta říká, že celkový elektrický flux pro jakoukoli uzavřenou plochu obklopující náboj je roven celkovému kladnému náboji uzavřenému v této ploše.
Předpokládejme, že náboje Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn jsou uzavřeny plochou, pak tuto větu lze matematicky vyjádřit jako plošný integrál

Kde D je hustota fluxu v coulombech/m2 a dS je vektor směřující ven.

Vysvětlení Gaussovy věty

Pro vysvětlení Gaussovy věty je lepší projít příkladem pro správné pochopení.
Nechť Q je náboj uprostřed koule a flux emitovaný z náboje je kolmý na povrch. Tato věta říká, že celkový flux emitovaný z náboje bude roven Q coulombů a toto lze také matematicky dokázat. Co ale když není náboj umístěn uprostřed, ale na jiném místě než uprostřed (jak je znázorněno na obrázku).

V tomto případě nejsou linky fluxu kolmé na povrch obklopující náboj, pak tento flux je rozdělen do dvou složek, které jsou navzájem kolmé, horizontální složka je sinθ a vertikální složka je cosθ. Když se tyto složky sečtou pro všechny náboje, pak celkový výsledek je roven celkovému náboji systému, což dokazuje Gaussovu větu.

Důkaz Gaussovy věty

Uvažme bodový náboj Q umístěný v homogenním izotropním prostředí s permitivitou ε.

Elektrická intenzita pole v libovolném bodě ve vzdálenosti r od náboje je

Hustota fluxu je dána jako,

Nyní z obrázku flux přes plochu dS

Kde θ je úhel mezi D a normálou k dS.
Nyní, dScosθ je projekce dS kolmá na vektor poloměru. Podle definice tuhého úhlu

Kde dΩ je tuhý úhel, který elementární povrchová plocha dS svírá s bodem Q. Celkový posun fluxu přes celou povrchovou plochu je

Nyní víme, že tuhý úhel, který jakákoli uzavřená plocha svírá, je 4π steradiány, takže celkový elektrický flux přes celou povrchovou plochu je

To je integrální forma Gaussovy věty. A tedy tato věta je dokázána.

Prohlášení: Respektujte původ, dobaře napsané články jsou hodné sdílení, pokud dojde k porušení autorských práv, prosím, kontaktujte pro smazání.