Gausa teorēma

Zinām, ka pozitīvā vai negatīvā elektriskā lādējuma apkārt vienmēr pastāv statisks elektromagnētiskais lauks, un šajā statiskajā laukā ir enerģijas cauruļa plūsma vai fluxis. Tas nozīmē, ka šis fluxis izstaro no elektriskā lādējuma. Fluxa plūsmas daudzums atkarīgs no tā, cik liels ir lādējums. Lai noskaidrotu šo attiecību, tika ieviesta Gausa teorēma. Šī teorēma var būt viena no spēcīgākajām un noderīgākajām teorēmām elektrības zinātnē. Mēs varam izmantot šo teorēmu, lai aprēķinātu fluxa daudzumu, kas izstarojas caur virsmu, kas aptver lādējumu.

Šī teorēma apstiprina, ka jebkurā slēgtā virsmā, kas aptver lādējumu, kopējais elektriskais fluxis ir vienāds ar neto pozitīvo lādējumu, kas šajā virsmā ieiet.
Ja pieņemam, ka lādējumi Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn ir aptverti ar virsmu, tad teorēmu matemātiski var izteikt kā virsmas integrālu:

Kur D ir fluxa blīvums kulobārdā/m2, un dS ir ārpuses virzienā orientēts vektors.

Gausa teorēmas izskaidrojums

Lai labāk izskaidrotu Gausa teorēmu, ir labāk apskatīt piemēru, lai labāk to saprastu.
Pieņemsim, ka Q ir lādējums sfēras centrā, un fluxis, kas izstaro no lādējuma, ir perpendikulārs virsmai. Šī teorēma apstiprina, ka kopējais fluxis, kas izstaro no lādējuma, būs vienāds ar Q kulobārdiem, un to var pierādīt matemātiski. Bet kā jārīkojas, ja lādējums nav centrā, bet gan kaut kur citur (kā redzams attēlā).

Tad, kad fluxa līnijas nav perpendikulāras virsmai, kas aptver lādējumu, šis fluxis tiek sadalīts divos komponentos, kas savstarpēji perpendikulāri, horizontālais ir sinθ komponents, bet vertikālais ir cosθ komponents. Kad šo komponentu summa tiek aprēķināta visiem lādējumiem, tad rezultāts ir vienāds ar sistēmas kopējo lādējumu, kas pierāda Gausa teorēmu.

Gausa teorēmas pierādījums

Apsveram punkta lādējumu Q, kas atrodas homogēnā izotropā vidē ar dielektriskumu ε.

Elektriskā lauka stipruma vērtība jebkurai punktā, kas atrodas attālumā r no lādējuma, ir

Fluxa blīvums ir dots kā,

No attēla izriet, ka fluxis caur virsmu dS ir

Kur θ ir leņķis starp D un normāli pret dS.
Tātad, dScosθ ir dS projekcija, kas ir perpendikulāra rādiusvektoram. Pēc solīda leņķa definīcijas

Kur dΩ ir solīdis leņķis, ko veido elementārā virsma dS punktā Q. Tātad, kopējais fluxis caur visu virsmu ir

Mēs zinām, ka jebkuras slēgtas virsmas veidotais solīdis leņķis ir 4π steradiāni, tātad kopējais elektriskais fluxis caur visu virsmu ir

Šis ir Gausa teorēmas integrālformas pierādījums, un tādējādi šī teorēma ir pierādīta.

Paziņojums: Cienījam oriģinālo, labus rakstus vērts dalīties, jādzēš pārkāpumi.