Gauss-tétel

Tudjuk, hogy egy pozitív vagy negatív elektromos töltés körül mindig van statikus elektromos mező, és ebben a statikus elektromos mezőben van egy energia csövök vagy flux áramlása. Valójában ez a flux sugárzódik/kibocsátódik az elektromos töltéstől. A flux áramlás mennyisége függ a kibocsátó töltés mennyiségétől. Ezen kapcsolat meghatározásához bevezették a Gauss-tételt. Ez a tétel tekinthető az elektrotechnika területén a legnagyobb hatású és hasznos tételnek. A tétellel meghatározhatjuk a töltést körülvevő felületi területen átmenő flux mennyiségét.

A tétel szerint bármely zárt felülettel körülvevő bármilyen töltés esetén a teljes elektromos flux egyenlő a felületen belül található nettó pozitív töltéssel.
Tegyük fel, hogy a Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn töltéseket egy felület veszi körül, akkor a tétel matematikailag felületi integrállal fejezhető ki, mint

Ahol, D a flux sűrűség Coulomb/m2-ben, és dS a külső irányú vektor.

Gauss-tétel magyarázata

A Gauss-tétel megértéséhez érdemes példán keresztül bemutatni a helyes értelmezést.
Tegyük fel, hogy Q a gömb közepén található töltés, és a flux normális a felülethez. A tétel szerint a töltéstől eredő teljes flux egyenlő lesz Q Coulombmal, amit matematikailag is bizonyíthatunk. De mi a helyzet, ha a töltést nem a középpontban, hanem a középponton kívül helyezzük el (ahogy a rajzon látható).

Ekkor a flux vonalak nem normálisak a töltést körülvevő felülethez, így a flux két komponensre bontható, amelyek egymásra merőlegesek, a vízszintes a sinθ komponens, a függőleges pedig a cosθ komponens. Ha összeadjuk ezeket a komponenseket minden töltés esetén, akkor a netto eredmény egyenlő a rendszer teljes töltésével, ami bizonyítja a Gauss-tételt.

A Gauss-tétel bizonyítása

Vegyünk egy pontszerű Q töltést, amely egy homogén izotropikus ε dielektrikus konstansú médiumban található.

Az elektromos mező intenzitása a töltéstől r távolságra:

A flux sűrűség a következőképpen adódik:

A rajz alapján a flux a dS felületen:

Ahol, θ a D és a dS normális szöge.
A dScosθ a dS vetülete a sugárvonal normálisára. A sztereoszög definíciója szerint:

Ahol, dΩ a Q-ban lévő töltés által a dS elemi felület által lefedett sztereoszög. Tehát a teljes flux a teljes felületen:

Mivel tudjuk, hogy a zárt felület által lefedett sztereoszög 4π szteradián, a teljes elektromos flux a teljes felületen:

Ez a Gauss-tétel integrált formája. Így a tétel bizonyítása befejeződött.

Nyilatkozat: Tiszteletben tartsa az eredeti, jó cikkek megosztandók, ha sértés van, kérem, vegye le.