משפט גאוס

אנו יודעים שדה חשמלי סטטי קיים תמיד סביב מטען חשמלי חיובי או שלילי ובשדה החשמלי הסטטי הזה יש זרימת צינור אנרגיה או פלוקס. למעשה, הפלוקס נפלט/נמוך מהמטען החשמלי. כמות הזרימה של הפלוקס תלויה בכמות המטען ממנו הוא נפלט. כדי למצוא את הקשר הזה, הוצג משפט גאוס. ניתן להתייחס למשפט זה כאחד המשפטים החזקים והמועילים ביותר בתחום המדע החשמלי. באמצעות המשפט הזה, ניתן לקבוע את כמות הפלוקס הנפלט דרך השטח המקיף את המטען.

המשפט קובע כי הפלוקס החשמלי הכולל דרך כל משטח סגור המקיף מטען, שווה לכמות המטען החיובי הכלוא במשטח ההוא.
נניח שהמטענים Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn כלואים במשטח, אז המשפט יכול לבוא לידי ביטוי מתמטי באמצעות אינטגרל המשטח כ

כאשר, D הוא צפיפות הפלוקס בקולון/מ''2 ו-dS הוא וקטור המכוון החוצה.

הסבר על משפט גאוס

כדי להסביר את משפט גאוס, עדיף לעבור דוגמה להבנה טובה יותר.
נניח ש-Q הוא המטען במרכז כדור והפלוקס הנפלט מהמטען הוא מאונך לשטח. עכשיו, המשפט קובע כי הפלוקס הכולל הנפלט מהמטען יהיה שווה ל-Q קולון וזה יכול להוכיח מתמטית. אבל מה אם המטען אינו ממוקם במרכז אלא בנקודה אחרת ולא במרכז (כפי שמופיע בתמונה).

באותו זמן, קווי הפלוקס אינם מאונכים לשטח המקיף את המטען, אז הפלוקס מתפרק לשני רכיבים הניצבים אחד לשני, הרכיב האופקי הוא רכיב הסינוס והרכיב האנכי הוא רכיב הקוסינוס. עכשיו כאשר סוכמים את שני הרכיבים הללו עבור כל המטענים, התוצאה הסופית היא שווה למטען הכולל של המערכת זו מוכיחה את משפט גאוס.

הוכחת משפט גאוס

נניח שיש לנו מטען נקודתי Q שנמצא במאגר אחיד ואיזוטרופי עם התנגדות דיאלקטרית ε.

העוצמת השדה החשמלי בכל נקודה מרחק r מהמטען היא

צפיפות הפלוקס נתונה כ

עכשיו מהאיור, הפלוקס דרך השטח dS

כאשר, θ הוא הזווית בין D לניצב ל-dS.
עכשיו, dScosθ הוא ההטלה של dS בניצב לווקטור הרדיוס. לפי הגדרת זווית מוצקה

כאשר, dΩ היא הזווית המוצקה שנוצרת ב-Q על ידי השטח האלמנטרי dS. לכן העתקת הפלוקס דרך כל השטח היא

עכשיו, אנחנו יודעים שהזווית המוצקה שנוצרת על ידי כל משטח סגור היא 4π סטרדיאנים, אז הפלוקס החשמלי הכולל דרך כל המשטח הוא

זו היא הצורה האינטגרלית של משפט גאוס. ולפיכך המשפט מוכח.

הצהרה: כבד את המקור, מאמרים טובים ראויים לשיתוף, אם יש פגיעה בקניין רוחני צרו קשר למחיקה.