Teorema de Gauss

Sabemos que sempre hai un campo eléctrico estático arredor dunha carga eléctrica positiva ou negativa e nese campo eléctrico estático hai un fluxo de tubo de enerxía ou fluxo. De feito, este fluxo é irradiado/emanado da carga eléctrica. Agora, a cantidade deste fluxo depende da cantidade de carga que está emanando. Para atopar esta relación, o teorema de Gauss foi introducido. Este teorema pode considerarse como un dos máis poderosos e útiles no campo da ciencia eléctrica. Podemos atopar a cantidade de fluxo irradiado a través da área de superficie que rodea a carga a partir deste teorema.

Este teorema afirma que o fluxo eléctrico total eléctrico a través de calquera superficie cerrada que rodea unha carga, é igual á carga positiva neta encerrada por esa superficie.
Supoñamos que as cargas Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn están encerradas por unha superficie, entón o teorema pode expresarse matematicamente polo integral de superficie como

Onde, D é a densidade de fluxo en coulombs/m2 e dS é o vector dirixido para fóra.

Explicación do teorema de Gauss

Para explicar o teorema de Gauss, é mellor pasar por un exemplo para unha comprensión adecuada.
Sexa Q a carga no centro dunha esfera e o fluxo emanado da carga é normal á superficie. Agora, este teorema afirma que o fluxo total emanado da carga será igual a Q coulombs e isto pode probarse matematicamente tamén. Pero que pasa cando a carga non está colocada no centro, senón en calquera punto diferente do centro (como se mostra na figura).

Nese momento, as liñas de fluxo non son normais á superficie que rodea a carga, entón este fluxo resólvese en dúas compoñentes que son perpendiculares entre si, a horizontal é a compoñente sinθ e a vertical é a compoñente cosθ. Agora, cando se toman a suma destas compoñentes para todas as cargas, o resultado neto é igual á carga total do sistema, o que proba o teorema de Gauss.

Proba do teorema de Gauss

Consideremos unha carga puntual Q situada nun medio homoxéneo isotrópico de permitividad ε.

A intensidade do campo eléctrico en calquera punto a unha distancia r da carga é

A densidade de fluxo dáse como,

Agora, a partir da figura, o fluxo a través da área dS

Onde, θ é o ángulo entre D e a normal a dS.
Agora, dScosθ é a proxección de dS normal ao vector de radio. Por definición do ángulo sólido

Onde, dΩ é o ángulo sólido subtendido en Q pola área superficial elemental dS. Polo tanto, o desprazamento total de fluxo a través da superficie completa é

Agora, sabemos que o ángulo sólido subtendido por calquera superficie cerrada é 4π estereorradianos, polo tanto, o fluxo eléctrico total a través da superficie completa é

Esta é a forma integral do teorema de Gauss. E, polo tanto, este teorema está probado.

Declaración: Respete o original, artigos bóns mérito ser compartidos, se hai infracción contacte para eliminar.