Gaussi teoreem

Teame, et positiivse või negatiivse elektrilaengu ümber on alati staatiline elektriväli ja sellel staatilisel elektriväljal on energia tuubide või voolu vool. Tegelikult see vool säteeb/põhjustab elektrilaengust. Nüüd selle voolu koguse sõltub laengu kogusest, millest see põhjustub. Selle suhte leidmiseks tuli välja Gaussi teoreem. See teoreem võib olla üks tugevaimatest ja kasutuslikumatest teoreemidest elektriteaduses. Me saame sellest teoreemist leida, kui palju voolu säteb laengu ümbritseva pinna kaudu.

See teoreem ütleb, et kogu elektrivool mis läbib mis tahes sulgeline pind, mis ümbritseb laengut, on võrdne sellel pinnal sisalduva netto positiivse laenguga.
Oletagem, et laengud Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn on ümbritsetud pinnaga, siis teoreemi võib matemaatiliselt väljendada pindintegraalina nii

Kus D on vooltihekoht kulonides/m2 ja dS on väljaspool pooleks suunatud vektor.

Gaussi teoreemi selgitus

Gaussi teoreemi selgitamiseks on parem läbi viia näide, et saavutada õiged arusaamad.
Olgu Q laeng sfääri keskel ja vool, mis põhjustub laengust, on risti pinnaga. Nüüd, see teoreem ütleb, et kogu vool, mis põhjustub laengust, on võrdne Q kuloniga ja seda saab ka matemaatiliselt tõestada. Aga mis juhtub, kui laeng ei ole asetatud keskpunktis, vaid mingil muul punktil (nagu on näidatud joonisel).

Sellisel juhul ei ole vooluliinid risti pinnaga, mille ümber laeng asetseb, siis see vool lahutatakse kahe komponendi, mis on omavahel risti, horisontaalne on sinθ komponent ja vertikaalne on cosθ komponent. Kui need komponendid summeeritakse kõigi laengude jaoks, siis netto tulemus on võrdne süsteemi kogulaenguga, mis tõestab Gaussi teoreemi.

Gaussi teoreemi tõestus

Oletagem, et punktlaeng Q asub homogeenses isotroopilises keskkonnas, mille dielektriline konstant ε on.

Elektriväljakulu või elektriväliintensiivsus mis tahes punktis, mis on kaugusel r laengust, on

Voolutihe on antud nii,

Nüüd, järgi joonist, vool pindala dS kaudu

Kus θ on nurk D ja dS normaali vahel.
Nüüd, dScosθ on dS projektsioon, mis on risti raadiusevektoriga. Solidaarsete nurgade definitsiooni järgi

Kus dΩ on solidaarne nurk, mille elementaarne pindala dS moodustab punktis Q. Seega kogu voolu displaceerimine kogu pinna kaudu on

Nüüd, me teame, et solidaarne nurk, mille mis tahes suletud pind moodustab, on 4π steradiaanit, seega kogu elektrivool kogu pinna kaudu on

See on Gaussi teoreemi integraalne vorm. Ja seega on see teoreem tõestatud.

Deklaratsioon: Austa algallikat, hea artiklid on väärt jagamist, kui on autoriõiguste rikkumist, siis pöörduge meile puudutamiseks.