Gaussin lause

Tiedämme, että positiivisen tai negatiivisen sähkövarauksen ympärillä on aina staattinen sähkökenttä, ja tässä staattisessa sähkökentässä on energiaputken tai virtaus. Itse asiassa tämä virtaus säteilee/lähdehtii sähkövarauksesta. Virtauksen määrä riippuu varauksen määrästä, josta se lähdehtii. Tätä suhdetta varten esiteltiin Gaussin lauseke. Tätä lausetta voidaan pitää yhdenä voimakkaimmista ja käyttökelpoisimmista lausekkeena sähkötekniikan alalla. Voimme löytää virtauksen määrän, joka säteilee varauksen ympäröivän pinnan kautta tästä lausekkeesta.

Tämä lauseke sanoo, että kaikki sähkövirtauksen määrä, joka kulkee minkä tahansa suljetun pinnan läpi, joka ympäröi varauksen, on yhtä suuri kuin netto-positiivinen varaus, joka on piilossa kyseisen pinnan sisällä.
Oletetaan, että varaukset Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn ovat piilossa pinnan sisällä, tällöin lauseke voidaan ilmaista matemaattisesti pinta-integraalina

Missä D on virtauden tiheys kulumoissa/m2 ja dS on ulospäin suuntautunut vektori.

Gaussin lausekkeen selitys

Gaussin lausekkeen selittämiseksi on parempi käydä esimerkin läpi oikeastaan ymmärtääksemme asian.
Olkoon Q varaus pallokeskuksessa ja virtaus, joka säteilee varauksesta, on normaali pintaan. Nyt, tämä lauseke sanoo, että kaikki virtaus, joka säteilee varauksesta, on yhtä suuri kuin Q kulumaa, ja tämä voidaan myös todistaa matemaattisesti. Mutta mitä tapahtuu, jos varaus ei ole keskellä, vaan jossain muualla kuin keskellä (kuten kuvassa).

Tällöin virtausviivat eivät ole normaaleja pintaan, joka ympäröi varauksen, silloin tämä virtaus hajoaa kahteen komponenttiin, jotka ovat kohtisuorassa toisiinsa, horisontaalinen on sinθ-komponentti ja vertikaalinen on cosθ-komponentti. Kun nämä komponentit lasketaan kaikille varauksille, niiden nettotulos on yhtä suuri kuin järjestelmän kokonaisvaraus, mikä todistaa Gaussin lausekkeen.

Gaussin lausekkeen todistus

Oletetaan, että pistevaraus Q sijaitsee homogeenisessa isotrooppisessa mediassa, jonka permittiivisyys on ε.

Sähkökentän intensiteetti missä tahansa pisteessä etäisyydellä r varauksesta on

Virtauden tiheys on annettu seuraavasti,

Nyt kuvion perusteella virtaus pinnan dS kautta

Missä θ on kulma D:n ja dS:n normaalin välillä.
Nyt, dScosθ on dS:n projektio, joka on normaali säteenvektoriin. Määritelmän mukaan solidaarisuuskulma

Missä dΩ on solidaarisuuskulma, joka on piilossa Q:ssa elementaarisen pinta-alan dS kautta. Joten virtauden kokonaissiirto koko pinta-alan kautta on

Nyt tiedämme, että mikä tahansa suljettu pinta on 4π steradiaania, joten kokonaisvirtaus koko pinnan kautta on

Tämä on Gaussin lausekkeen integraalimuoto. Ja siksi tämä lauseke on todistettu.

Lause: Kunnioita alkuperää, hyviä artikkeleita on jaettava, jos on loukkausta, ota yhteyttä poistaaksesi.