Gauss sætning

Vi ved, at der altid er et statisk elektrisk felt omkring en positiv eller negativ elektrisk ladning, og i dette statiske elektriske felt findes der en strøm af energirør eller flux. Faktisk er denne flux udsendt/emaneret fra den elektriske ladning. Nå, mængden af denne flux-strøm afhænger af mængden af ladningen, den emanerer fra. For at finde ud af denne relation blev Gauss's sætning introduceret. Denne sætning kan betragtes som en af de mest kraftfulde og nyttige sætninger inden for elektroteknikken. Vi kan finde ud af mængden af flux, der stråler gennem overfladearealet omkring ladningen ved hjælp af denne sætning.

Denne sætning siger, at det totale elektriske flux gennem enhver lukket overflade, der omslutter en ladning, er lig med den netto positive ladning, der er indsluttet af denne overflade.
Antag, at ladningerne Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn er indsluttet af en overflade, så kan sætningen matematisk udtrykkes ved overfladeintegral som

Hvor D er flux tætheden i coulomb/m2 og dS er den udadvendte vektor.

Forklaring af Gauss's sætning

For at forklare Gauss's sætning, er det bedst at gå igennem et eksempel for korrekt forståelse.
Lad Q være ladningen i centrum af en kugle, og lad flux, der emanerer fra ladningen, være normal til overfladen. Nu siger denne sætning, at det totale flux, der emanerer fra ladningen, vil være lig med Q coulomb, og dette kan også bevises matematisk. Men hvad sker der, når ladningen ikke er placeret i centrum, men et andet sted end i centrum (som vist på figuren).

I det tilfælde er flux-linjerne ikke normale til overfladen omkring ladningen, og da løses denne flux op i to komponenter, der står vinkelret på hinanden, den vandrette er sinθ-komponenten, og den lodrette er cosθ-komponenten. Når summen af disse komponenter tages for alle ladningerne, er det nettoresultat lig med den totale ladning i systemet, hvilket beviser Gauss's sætning.

Bevis for Gauss's sætning

Lad os overveje en punktladning Q, der er placeret i et homogent isotropt medium med permittiviteten ε.

Elektriske feltintensiteten ved ethvert punkt på en afstand r fra ladningen er

Fluxtætheden er givet som,

Nu fra figuren er flux gennem arealet dS

Hvor θ er vinklen mellem D og normalen til dS.
Nu er dScosθ projektionen af dS, der er normal til radiusvektoren. Efter definition af en solid vinkel

Hvor dΩ er den solide vinkel, som Q spænder over elementær overfladeareal dS. Så den totale forskydning af flux gennem hele overfladearealet er

Nu ved vi, at den solide vinkel, som enhver lukket overflade spænder over, er 4π steradian, så den totale elektriske flux gennem hele overfladen er

Dette er den integrerede form af Gauss's sætning. Og dermed er denne sætning bevist.

Erklæring: Respektér det originale, godt artikler værd at deles, hvis der er overskridelse kontakt slet.