Закон Био-Савара: Формулировка, вывод и применения

Что такое закон Бiot-Savart

Закон Бiot-Savart — это уравнение, описывающее магнитное поле, создаваемое постоянным электрическим током. Он связывает магнитное поле с величиной, направлением, длиной и близостью электрического тока. Закон Бiot–Savart согласуется как с законом Ампера, так и с теоремой Гаусса. Закон Бiot-Savart фундаментален для магнитостатики, играя роль, аналогичную роли закона Кулона в электростатике.

Закон Бiot-Savart был создан двумя французскими физиками, Жан-Батистом Бiot и Феликсом Саваром, которые вывели математическое выражение для плотности магнитного потока в точке, вызванной близким проводником с током, в 1820 году. Наблюдая отклонение магнитной стрелки компаса, эти два ученых пришли к выводу, что любой элемент тока проецирует магнитное поле в окружающее пространство.

На основе наблюдений и расчетов они вывели математическое выражение, которое показывает, что плотность магнитного потока dB прямо пропорциональна длине элемента dl, току I, синусу угла θ между направлением тока и вектором, соединяющим данную точку магнитного поля и элемент тока, и обратно пропорциональна квадрату расстояния данной точки от элемента тока, r.

Формулировка и вывод закона Бiot-Savart

Закон Бiot-Savart можно сформулировать следующим образом:

где k — константа, зависящая от магнитных свойств среды и системы единиц. В СИ системе единиц,

Таким образом, окончательный вывод закона Бiot-Savart имеет вид,

Рассмотрим длинный проводник, по которому течет ток I, и точку P в пространстве. Проводник, представленный на рисунке красным цветом, и бесконечно малый участок проводника dl на расстоянии r от точки P, как показано. Здесь r — это вектор расстояния, который образует угол θ с направлением тока в бесконечно малом участке проводника.

Если вы попытаетесь визуализировать ситуацию, вы легко поймете, что плотность магнитного поля в точке P, вызванная этим бесконечно малым участком проводника, прямо пропорциональна току, проходящему через этот участок проводника.

Поскольку ток, проходящий через этот бесконечно малый участок проводника, такой же, как и ток, проходящий через весь проводник, мы можем записать,

Также естественно предположить, что плотность магнитного поля в этой точке P, вызванная этим бесконечно малым участком проводника, обратно пропорциональна квадрату прямого расстояния от точки P до центра участка dl. Математически это можно записать как,

Наконец, магнитное поле в этой точке P, вызванное этим бесконечно малым участком проводника, также прямо пропорционально фактической длине этого бесконечно малого участка проводника dl.

Пусть θ — это угол между вектором расстояния r и направлением тока через этот бесконечно малый участок проводника. Компонента dl, направленная перпендикулярно к точке P, равна dlsinθ,

Теперь, объединив эти три утверждения, мы можем записать,

Это базовая форма закона Бiot-Savart.

Теперь, подставив значение константы k (которую мы уже ввели в начале статьи) в вышеуказанное выражение, получим

Здесь μ0, используемое в выражении константы k, — это абсолютная магнитная проницаемость воздуха или вакуума, и ее значение равно 4π10-7 Wb/ A-m в СИ системе единиц. μr в выражении константы k — это относительная магнитная проницаемость среды.