Νόμος του Biot-Savart: Δήλωση, Απόδειξη και Εφαρμογές

Τι είναι η Νόμος του Biot-Savart

Ο Νόμος του Biot-Savart είναι μια εξίσωση που περιγράφει το μαγνητικό πεδίο που παράγεται από σταθερή ηλεκτρική ρέυμα. Συνδέει το μαγνητικό πεδίο με την ένταση, την κατεύθυνση, το μήκος και την απόσταση του ηλεκτρικού ρεύματος. Ο Νόμος του Biot-Savart είναι συνεπής με τον Νόμο του Ampère και το Θεώρημα του Gauss. Ο Νόμος του Biot-Savart είναι θεμελιώδης για τη μαγνητοστατική, διαδραματίζοντας ρόλο παρόμοιο με τον Νόμο του Coulomb στην ηλεκτροστατική.

Ο Νόμος του Biot-Savart δημιουργήθηκε από δύο γαλλικούς φυσικούς, τον Jean Baptiste Biot και τον Felix Savart, οι οποίοι απόδειξαν τη μαθηματική έκφραση για τη πυκνότητα μαγνητικού ροής σε ένα σημείο λόγω ενός κονδυλιαριού που μεταφέρει ρεύμα, το 1820. Παρατηρώντας την αποκλίνση της βοηθητικής βελονάς, αυτοί οι δύο επιστήμονες συμπέραναν ότι κάθε στοιχειώδης ρευστός προβάλλει ένα μαγνητικό πεδίο στο χώρο γύρω του.

Μέσω παρατηρήσεων και υπολογισμών, αποδείξαν μια μαθηματική έκφραση, η οποία δείχνει ότι η πυκνότητα μαγνητικού ροής dB είναι ανάλογη με το μήκος του στοιχείου dl, το ρεύμα I, το ημίτονο της γωνίας θ μεταξύ της κατεύθυνσης του ρεύματος και του διανύσματος που ενώνει ένα σημείο του μαγνητικού πεδίου με το στοιχείο ρεύματος και αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασης του σημείου από το στοιχείο ρεύματος, r.

Δήλωση και Απόδειξη του Νόμου του Biot-Savart

Ο Νόμος του Biot-Savart μπορεί να δηλωθεί ως:

Όπου, k είναι μια σταθερά, η οποία εξαρτάται από τις μαγνητικές ιδιότητες του μέσου και το σύστημα μονάδων που χρησιμοποιείται. Στο σύστημα μονάδων SI,

Επομένως, η τελική απόδειξη του Νόμου του Biot-Savart είναι,

Ας θεωρήσουμε ένα μακρύ καλώδιο που μεταφέρει ρεύμα I και επίσης ένα σημείο p στο χώρο. Το καλώδιο παραθέτεται στο παρακάτω σχήμα, με κόκκινο χρώμα. Ας θεωρήσουμε επίσης ένα απείρως μικρό μήκος του καλωδίου dl σε απόσταση r από το σημείο P, όπως εμφανίζεται. Εδώ, r είναι ένα διανυσματικό μήκος που σχηματίζει μια γωνία θ με την κατεύθυνση του ρεύματος στο απείρως μικρό τμήμα του καλωδίου.

Εάν προσπαθήσετε να φανταστείτε την κατάσταση, μπορείτε εύκολα να κατανοήσετε ότι η πυκνότητα μαγνητικού πεδίου στο σημείο P λόγω του απείρως μικρού μήκους dl του καλωδίου είναι ανάλογη με το ρεύμα που μεταφέρεται από αυτό το τμήμα του καλωδίου.

Καθώς το ρεύμα μέσω αυτού του απείρως μικρού μήκους καλωδίου είναι το ίδιο με το ρεύμα που μεταφέρεται από το σύνολο του καλωδίου, μπορούμε να γράψουμε,

Είναι επίσης φυσικό να σκεφτούμε ότι η πυκνότητα μαγνητικού πεδίου στο σημείο P λόγω του απείρως μικρού μήκους dl του καλωδίου είναι αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο της ευθείας απόστασης από το σημείο P στο κέντρο του dl. Μαθηματικά μπορούμε να το γράψουμε αυτό ως,

Τέλος, το μαγνητικό πεδίο στο σημείο P λόγω του απείρως μικρού τμήματος του καλωδίου είναι επίσης ανάλογο με το πραγματικό μήκος του απείρως μικρού μήκους dl του καλωδίου.

Εφόσον θ είναι η γωνία μεταξύ του διανυσματικού r και της κατεύθυνσης του ρεύματος μέσω αυτού του απείρως μικρού τμήματος του καλωδίου, η συνιστώσα του dl που αντιμετωπίζει ορθογώνια το σημείο P είναι dlsinθ,