Zákon Biot-Savart: Prohlášení, odvození a aplikace

Co je Biot-Savartův zákon

Biot-Savartův zákon je rovnice popisující magnetické pole vygenerované konstantním elektrickým proudem. Relacuje magnetické pole s velikostí, směrem, délkou a blízkostí elektrického proudu. Biot–Savartův zákon je v souladu s oběma Ampèrovým okolovým zákonem a Gaussovým teorémem. Biot-Savartův zákon je základní pro magnetostatiku a hraje roli podobnou té Coulombově zákonu v elektrostatice.

Biot-Savartův zákon byl vytvořen dvěma francouzskými fyziky, Jeanem Baptistem Biote a Felixem Savartem, kteří odvodili matematický výraz pro hustotu magnetického toku v bodě díky blízkému vodiči nesoucímu proud, v roce 1820. Pohledem na odklon magnety kompasu ti dva vědci dospěli k závěru, že každý prvek proudu projekuje magnetické pole do prostoru kolem sebe.

Pomocí pozorování a výpočtů odvodili matematický výraz, který ukazuje, že hustota magnetického toku dB je přímo úměrná délce elementu dl, proudu I, sinusu úhlu θ mezi směrem proudu a vektorem spojujícím daný bod magnetického pole a prvkem proudu a je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti daného bodu od prvku proudu, r.

Předpis a odvození Biot-Savartova zákona

Biot-Savartův zákon lze vyjádřit jako:

Kde k je konstanta, závislá na magnetických vlastnostech prostředí a použité soustavy jednotek. V SI soustavě jednotek,

Tedy konečné odvození Biot-Savartova zákona je,

Uvažme dlouhý vodič nesoucí proud I a také bod P ve prostoru. Vodič je na obrázku zobrazen červenou barvou. Uvažme také nekonečně malou délku vodiče dl vzdálenou od bodu P, jak je znázorněno. Zde, r je vzdálenostový vektor, který svírá úhel θ se směrem proudu v nekonečně malém úseku vodiče.

Pokud si tuto situaci snadno představíte, můžete snadno pochopit, že hustota magnetického pole v bodě P díky tomuto nekonečně malému úseku vodiče dl je přímo úměrná proudu, který touto částí vodiče protéká.

Protože proud skrz ten nekonečně malý úsek vodiče je stejný jako proud, který celý vodič nese, můžeme napsat,

Je také velmi přirozené myslet, že hustota magnetického pole v bodě P díky tomuto nekonečně malému úseku vodiče dl je nepřímo úměrná druhé mocnině přímé vzdálenosti od bodu P k středu dl. Matematicky můžeme toto napsat jako,

Nakonec, magnetické pole v bodě P díky tomuto nekonečně malému úseku vodiče je také přímo úměrná skutečné délce nekonečně malého úseku vodiče dl.

Jelikož θ je úhel mezi vzdálenostovým vektorem r a směrem proudu skrz tento nekonečně malý úsek vodiče, složka dl přímo čelící kolmo k bodu P je dlsinθ,

Teď, kombinací těchto tří tvrzení, můžeme napsat,

To je základní forma Biot-Savartova zákona

Nyní, dosazením hodnoty konstanty k (kterou jsme již zavedli na začátku tohoto článku) do výše uvedeného výrazu, dostaneme

Zde, μ0 použité v výrazu konstanty k je absolutní permeabilita vzduchu nebo vakuu a její hodnota je 4π10-7 Wb/ A-m v SI soustavě jednotek. μr výrazu konstanty k je