Biot Savart-törvény: Kimondása, Levezetése és Alkalmazásai

Mi a Biot–Savart-törvény

A Biot–Savart-törvény egy egyenlet, amely leírja a mágneses mezőt, amelyet állandó elektromos áram generál. Kapcsolatba hozza a mágneses mezőt az áram mértékével, irányával, hosszúságával és közelítésével. A Biot–Savart-törvény összhangban áll az Ampère körkörös törvényével és a Gauss-tétellel. A Biot–Savart-törvény alapvető a mágnesstatikában, hasonló szerepet játszik, mint a Coulomb-törvény az elektrostatikában.

A Biot–Savart-törvényt két francia fizikus, Jean Baptiste Biot és Félix Savart fejte ki, akik 1820-ban matematikai kifejezést vezettek be a mágneses fluxussűrűség-re egy pontban, amely közel van egy áramot vezető vezetőhöz. A mágneses iránytű deflektálásának megfigyelése alapján ez a két tudós arra jutott következtetésre, hogy minden áram elem projektiál mágneses mezőt a körülötte lévő térbe.

Megfigyelések és számítások révén matematikai kifejezést vezettek be, amely azt mutatja, hogy a mágneses fluxussűrűség dB közvetlenül arányos az elem hosszával dl, az áram I, a szög szinuszának és θ ahol a szög az áram iránya és a vektor között, amely egy adott pontot a mágneses mezőben és az áram elem között köti, és fordítva arányos a négyzetes távolsággal a megadott ponttól az áram elemhez, r.

Biot–Savart-törvény kimondása és levezetése

A Biot–Savart-törvényt így lehet kimondani:

Ahol, k egy konstans, ami függ a médium mágneses tulajdonságaitól és a használt egységszerkezettől. Az SI egységszerkezetben,

Tehát, a végső Biot–Savart-törvény levezetése,

Vegyünk egy hosszú vezetőt, amely áramot vezet, és vegyünk egy P pontot a térben. A vezető piros színnel látható a képen. Vegyünk egy végtelenül kis hosszúságú részt a vezetőből dl, ami r távolságra van a P ponttól, ahogy a képen látható. Itt r egy távolságvektor, ami θ szöget zár be az áram irányával a végtelenül kis részben a vezetőben.

Ha próbáljuk vizualizálni a helyzetet, könnyen megérthetjük, hogy a mágneses mező sűrűsége a P pontban a vezető végtelenül kis dl hosszúságú részének által hordozott áramhoz közvetlenül arányos.

Mivel az áram a vezető végtelenül kis részében ugyanaz, mint a teljes vezetőben, írhatjuk, hogy,

Természetes is, hogy a mágneses mező sűrűsége a P pontban a vezető végtelenül kis dl hosszúságú részének által hordozott áramhoz fordítva arányos a P pontnak a dl közepének a négyzetes távolságával. Matematikailag írhatjuk ezt úgy, hogy,

Végül, a mágneses mező sűrűsége a P pontban a vezető végtelenül kis dl hosszúságú részének által hordozott áramhoz közvetlenül arányos a dl valós hosszával.

Ahol θ a távolságvektor r és az áram iránya közötti szög a vezető végtelenül kis részében, a dl komponense, ami merőlegesen áll a P pontra, dlsinθ,

Most, ha kombináljuk ezeket a három állítást, írhatjuk, hogy,

Ez az alap formája a Biot–Savart-törvénynek.

Most, behelyettesítve a k konstans értékét (amit már bevezettünk a cikk elején), kapjuk, hogy

Itt, μ0 a k konstans kifejezésében a abszolút permeabilitás a levegőben vagy vakuumban, és értéke 4π10-7 Wb/ A-m az SI egységszerkezetben. μr a k konstans kifejezésében a