Zakon Biot-Savart: Izjava Derivacija in Uporabe

Kaj je Biot-Savartov zakon

Biot-Savartov zakon je enačba, ki opisuje magnetno polje, ki ga generira stalni električni tok. Povezuje magnetno polje z velikostjo, smerjo, dolžino in bližino električnega toka. Biot–Savartov zakon je skladen z obema Ampèrovim zakonom o toku in Gaussovim izrekom. Biot-Savartov zakon je temeljna načela magnetostatike in igra podobno vlogo kot Coulombov zakon v elektrostatiki.

Biot-Savartov zakon sta leta 1820 izpeljala dva francoska fizika, Jean Baptiste Biot in Felix Savart, ki sta izrazili matematično izraz za gostoto magnetnega toka v točki zaradi blizu ležnega nosilca toka. Opazovanjem odboja kompasne igle sta ti dva znanstvenika sklepala, da vsak element toka projicira magnetno polje v okolico.

Skupaj s svojimi opazovanji in računi sta izpeljala matematični izraz, ki kaže, da je gostota magnetnega toka dB neposredno sorazmerna z dolžino elementa dl, tokom I, sinusom kota θ med smerjo toka in vektorjem, ki povezuje dano točko magnetnega polja z elementom toka, in obratno sorazmerna s kvadratom razdalje dane točke od elementa toka, r.

Izjava in izpeljava Biot-Savartovega zakona

Biot-Savartov zakon se lahko izrazi kot:

Kjer je k konstanta, ki je odvisna od magnetnih lastnosti medija in uporabljene enotskega sistema. V SI sistemu enot,

Torej, končna izpeljava Biot-Savartovega zakona je,

Razmislimo o dolgi žici, ki nese tok I, in o točki P v prostoru. Žica je prikazana s črno barvo. Razmislimo tudi o neskončno majhnem delu žice dl na razdalji r od točke P, kot je prikazano. Tukaj je r razdaljski vektor, ki z vrtilcem θ tvori kot s smerjo toka v neskončno majhnem delu žice.

Če si predstavljate stanje, lahko enostavno razumete, da je gostota magnetnega polja v točki P zaradi tega neskončno majhnega dela žice dl neposredno sorazmerna s tokom, ki ga ta del žice prenaša.

Ker je tok skozi ta neskončno majhen del žice enak toku, ki ga prenaša cela žica, lahko zapišemo,

Je tudi naravno misliti, da je gostota magnetnega polja v točki P zaradi tega neskončno majhnega dela žice dl obratno sorazmerna s kvadratom ravne razdalje od točke P do središča dl. Matematično lahko to zapišemo kot,

Naposled, magnetno polje v točki P zaradi tega neskončno majhnega dela žice je tudi neposredno sorazmerno z dejansko dolžino neskončno majhnega dela žice dl.

Kot θ med razdaljskim vektorjem r in smerjo toka skozi ta neskončno majhen del žice je komponenta dl, ki se neposredno sooča pravokotno na točko P, enaka dlsinθ,

Zdaj, ko združimo te tri trditve, lahko zapišemo,

To je osnovna oblika Biot-Savartovega zakona

Sedaj, ko vnesemo vrednost konstante k (ki smo jo že predstavili na začetku tega članka) v zgornji izraz, dobimo

Tukaj, μ0, uporabljen v izrazu za konstanto k, je absolutna permeabilnost zraka ali vakuma, njegova vrednost pa je 4π10-7 Wb/A-m v SI sistemu enot. μr v izrazu za konstanto k je relativna permeabilnost medija.

Fluxna gostota (B) v točki P zaradi celotne dolžine nosilca toka