ビオ・サバールの法則：定理、導出および応用
ビオ・サバールの法則とは
ビオ・サバールの法則は、一定の電流によって生成される磁場を記述する方程式です。この法則は、磁場と電流の大きさ、方向、長さ、および距離に関連しています。ビオ・サバールの法則はアンペアの環路法則とガウスの定理と一致しています。ビオ・サバールの法則は磁気静力学において基本的な役割を果たし、静電気学におけるクーロンの法則と同様の役割を果たします。
ビオ・サバールの法則は、1820年にフランスの物理学者ジャン・バティスト・ビオとフェリックス・サバールによって導出されました。彼らは磁石の針の偏角を観察し、電流がその周囲に磁場を投影することを結論付けました。
彼らの観察と計算により、磁束密度dBは、要素dlの長さ、電流I、電流の方向と磁場のある点を結ぶベクトルとの間の角度θの正弦に比例し、その点からの距離rの2乗に反比例することが示されました。
ビオ・サバールの法則の声明と導出
ビオ・サバールの法則は以下のようになります：
ここで、kは媒体の磁気特性と単位系による定数です。SI単位系では、
したがって、最終的なビオ・サバールの法則の導出は、
現在、電流Iを流す長い導線を考えます。また、空間内の点Pも考えます。導線は赤色で表され、無限小の長さdlが点Pから距離rにあるとします。ここでのrは、導線の無限小部分の電流の方向と点Pを結ぶベクトルとの間の角度θを作ります。
状況を視覚化すると、無限小の長さdlの導線による点Pでの磁束密度が、その部分を通る電流に比例することがわかります。
無限小の長さの導線を通る電流は、全体の導線を通る電流と同じなので、以下の式が成り立ちます：
また、無限小の長さdlの導線による点Pでの磁束密度は、点Pからdlの中心までの直線距離の2乗に反比例すると考えられます。数学的に以下のように表せます：
最後に、磁場の密度は、無限小の長さdlの導線の実際の長さに比例します。
距離ベクトルrと導線の無限小部分の電流の方向との間の角度θを考えると、点Pに対して垂直に向き合うdlの成分はdlsinθとなります：
これら3つのステートメントを組み合わせて、以下の式が得られます：
これがビオ・サバールの法則の基本形です。
定数k（記事の冒頭で紹介しました）の値を上記の式に代入すると、以下の式が得られます：
ここでのμ0は絶対透磁率であり、その値はSI単位系で4π10-7 Wb/ A-mです。μrは相対透磁率です。
点Pでの通電導線の全長による磁束密度(B)は以下の式で表されます：
点Pから導線までの直角距離Dであれば、
ここで、点Pでの磁束密度Bの式は以下のように書き換えることができます：
