Llei de Biot-Savart: Enunciat, Derivació i Aplicacions

Què és la Llei de Biot-Savart

La Llei de Biot-Savart és una equació que descriu el camp magnètic generat per una corrent elèctrica constant. Relaciona el camp magnètic amb la magnitud, direcció, longitud i proximitat de la corrent elèctrica. La llei de Biot-Savart és coherent amb tant la Llei d'Ampère en circuit com amb el Teorema de Gauss. La Llei de Biot-Savart és fonamental en la magnetostàtica, jugant un paper similar al de la Llei de Coulomb en l'electroestàtica.

La Llei de Biot-Savart va ser creada pels físics francesos Jean Baptiste Biot i Felix Savart, qui van derivar l'expressió matemàtica per a la densitat de flux magnètic en un punt degut a un conductor portador de corrent proper, el 1820. Observant la desviació d'una agulla de brúixola, aquests dos científics concloure que qualsevol element de corrent projecta un camp magnètic a l'espai que l'envolta.

A través d'observacions i càlculs, van derivar una expressió matemàtica que mostra que la densitat de flux magnètic dB és directament proporcional a la longitud de l'element dl, la corrent I, el sinus de l'angle θ entre la direcció de la corrent i el vector que uneix un punt determinat del camp magnètic i l'element de corrent, i inversament proporcional al quadrat de la distància del punt determinat de l'element de corrent, r.

Enunciat i Derivació de la Llei de Biot-Savart

La Llei de Biot-Savart es pot enunciar com:

On k és una constant que depèn de les propietats magnètiques del medi i del sistema d'unitats utilitzat. En el sistema d'unitats SI,

Per tant, la derivació final de la Llei de Biot-Savart és,

Considerem un fil llarg que porta una corrent I i també considerem un punt P en l'espai. El fil s'ha representat en la imatge de color vermell. Considerem també una longitud infinitesimal del fil dl a una distància r del punt P, com es mostra. Aquí, r és un vector de distància que forma un angle θ amb la direcció de la corrent en la porció infinitesimal del fil.

Si intentes visualitzar la condició, pots entendre fàcilment que la densitat de camp magnètic al punt P degut a aquesta longitud infinitesimal dl del fil és directament proporcional a la corrent transportada per aquesta porció del fil.

Com que la corrent a través d'aquesta longitud infinitesimal de fil és la mateixa que la corrent transportada pel fil sencer, podem escriure,

És també molt natural pensar que la densitat de camp magnètic a aquest punt P degut a aquesta longitud infinitesimal dl del fil és inversament proporcional al quadrat de la distància recta des del punt P al centre de dl. Matemàticament, podem escriure això com,

Finalment, la densitat de camp magnètic a aquest punt P degut a aquesta porció infinitesimal del fil també és directament proporcional a la longitud real de la longitud infinitesimal dl del fil.

Com que θ sigui l'angle entre el vector de distància r i la direcció de la corrent a través d'aquesta porció infinitesimal del fil, la component de dl que fa front perpendicular al punt P és dlsinθ,

Ara, combinant aquests tres enunciats, podem escriure,

Aquesta és la forma bàsica de la Llei de Biot-Savart

Ara, posant el valor de la constant k (que ja hem introduït al principi d'aquest article) en l'expressió anterior, obtenim

Aquí, μ0 utilitzat en l'expressió de la constant k és la permeabilitat absoluta de l'aire o el buit i el seu valor és 4π10-7 Wb/ A-m en el sistema d'unitats SI. μr de l'expressió de la constant k és la permeabilitat relativa del medi.

Ara, la densitat de flux (B) al punt P degut a la longitud total del conductor