Ley de Biot-Savart: Enunciado Derivación y Aplicaciones
¿Qué es la Ley de Biot Savart
La Ley de Biot Savart es una ecuación que describe el campo magnético generado por una corriente eléctrica constante. Relaciona el campo magnético con la magnitud, dirección, longitud y proximidad de la corriente eléctrica. La ley de Biot–Savart es consistente tanto con la ley de circuital de Ampère como con el teorema de Gauss. La ley de Biot Savart es fundamental en magnetostática, desempeñando un papel similar al de la ley de Coulomb en electrostática.
La ley de Biot-Savart fue creada por dos físicos franceses, Jean Baptiste Biot y Felix Savart, quienes derivaron la expresión matemática para la densidad de flujo magnético en un punto debido a un conductor cercano que lleva corriente, en 1820. Observando la desviación de una aguja de brújula magnética, estos dos científicos concluyeron que cualquier elemento de corriente proyecta un campo magnético en el espacio que lo rodea.
A través de observaciones y cálculos, habían derivado una expresión matemática, que muestra que la densidad de flujo magnético dB es directamente proporcional a la longitud del elemento dl, la corriente I, el seno del ángulo θ entre la dirección de la corriente y el vector que une un punto dado del campo magnético y el elemento de corriente, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto dado desde el elemento de corriente, r.
Enunciado y Derivación de la Ley de Biot Savart
La Ley de Biot-Savart se puede enunciar como:
Donde, k es una constante, que depende de las propiedades magnéticas del medio y del sistema de unidades utilizado. En el sistema de unidades SI,
Por lo tanto, la derivación final de la Ley de Biot-Savart es,
Consideremos un cable largo que lleva una corriente I y también consideremos un punto p en el espacio. El cable se presenta en la imagen de abajo, en color rojo. Consideremos también una longitud infinitesimal del cable dl a una distancia r del punto P, como se muestra. Aquí, r es un vector de distancia que forma un ángulo θ con la dirección de la corriente en la porción infinitesimal del cable.
Si intentas visualizar la condición, puedes entender fácilmente que la densidad de flujo magnético en el punto P debido a esa longitud infinitesimal dl del cable es directamente proporcional a la corriente transportada por esa porción del cable.
Como la corriente a través de esa longitud infinitesimal del cable es la misma que la corriente transportada por todo el cable, podemos escribir,
Es también muy natural pensar que la densidad de campo magnético en ese punto P debido a esa longitud infinitesimal dl del cable es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia recta desde el punto P hasta el centro de dl. Matemáticamente podemos escribir esto como,
Finalmente, la densidad de campo magnético en ese punto P debido a esa porción infinitesimal del cable es también directamente proporcional a la longitud real de la longitud infinitesimal dl del cable.
Como θ sea el ángulo entre el vector de distancia r y la dirección de la corriente a través de esta porción infinitesimal del cable, la componente de dl directamente enfrentada perpendicularmente al punto P es dlsinθ,
Ahora, combinando estas tres afirmaciones, podemos escribir,
Esta es la forma básica de la Ley de Biot Savart
Ahora, poniendo el valor de la constante k (que ya hemos introducido al principio de este artículo) en la expresión anterior, obtenemos
Aquí, μ0 usado en la expresión de la constante k es la permeabilidad absoluta del aire o del vacío y su valor es 4π10-7 Wb/ A-m en el sistema de unidades SI. μr de la expresión de la constante k es la permeabilidad relativa del medio.
Ahora, la densidad de flujo (B) en el punto P debido a la longitud total del conductor que lleva corriente conductor o cable puede representarse como,
