비오 사바르 법칙: 진술, 유도 및 응용
비오-사바르 법칙이란?
비오-사바르 법칙은 일정한 전류에 의해 발생하는 자기장을 설명하는 방정식입니다. 이 법칙은 자기장과 전류의 크기, 방향, 길이, 그리고 가까운 거리와의 관계를 나타냅니다. 비오-사바르 법칙은 安倍尔环路定律 및 高斯定理과 일치합니다. 비오-사바르 법칙은 정전기학에서 쿨롱의 법칙이 하는 역할과 유사하게 정자기학에서 중요한 역할을 합니다.
비오-사바르 법칙은 두 프랑스 물리학자인 장 바티스트 비오와 펠릭스 사바르가 1820년에 도출한 수학적 표현으로, 근처의 전류를 가진 도체에서 특정 점에서의 자속밀도를 나타냅니다. 이 두 과학자는 자기 나침반의 편차를 관찰하고, 모든 전류 요소가 주변 공간에 자기장을 생성한다는 결론을 내렸습니다.
관측과 계산을 통해 그들은 수학적 표현을 도출했으며, 이는 dB, 즉 자속밀도가 dl, 즉 요소의 길이, 전류 I, 전류 방향과 자기장의 특정 점 사이의 벡터 간 각도 θ의 사인 값, 그리고 주어진 점과 전류 요소 간의 거리 제곱의 역수와 직접적으로 비례함을 보여줍니다.
비오-사바르 법칙의 진술 및 도출
비오-사바르 법칙은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
여기서 k는 매질의 자기 특성과 사용된 단위 시스템에 따라 달라지는 상수입니다. SI 단위 시스템에서는,
따라서, 최종적인 비오-사바르 법칙의 도출은 다음과 같습니다:
전류 I를 가진 긴 도선과 공간의 한 점 P를 고려해봅시다. 도선은 아래 그림에서 빨간색으로 표시되어 있으며, 도선의 무한히 작은 길이 dl을 P점에서의 거리 r에서 고려해봅시다. 여기서 r은 도선의 무한히 작은 부분의 전류 방향과 각 θ를 이루는 거리 벡터입니다.
상황을 시각화하면, 도선의 무한히 작은 길이 dl에 의한 P점에서의 자기장 밀도가 해당 부분의 도선을 통과하는 전류와 직접적으로 비례함을 쉽게 이해할 수 있습니다.
무한히 작은 길이의 도선을 통과하는 전류는 전체 도선을 통과하는 전류와 동일하므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
또한, P점에서의 자기장 밀도가 도선의 무한히 작은 길이 dl에 의해 P점과 dl의 중심 사이의 직선 거리의 제곱에 반비례한다는 것도 자연스럽게 생각할 수 있습니다. 수학적으로 이를 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
마지막으로, 자기장 밀도는 도선의 무한히 작은 길이 dl 자체의 실제 길이와 직접적으로 비례합니다.
거리 벡터 r과 이 무한히 작은 부분의 도선을 통과하는 전류 방향 사이의 각 θ가 있을 때, P점에 대해 수직으로 마주보는 dl의 성분은 dlsinθ입니다:
이 세 가지 문장을 결합하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
이것이 기본적인 비오-사바르 법칙입니다.
이제, 위의 식에 이미 소개한 상수 k의 값을 대입하면 다음과 같습니다:
여기서 상수 k의 표현에 사용된 μ0는 공기 또는 진공의 절대 투자율이며, SI 단위 시스템에서 그 값은 4π10-7 Wb/ A-m입니다. μr은 상수 k의 표현에서 매질의 상대 투자율입니다.
전류를 가진 전체 길이의 도체 또는 도선에 의한 P점에서의 자기유속 밀도(B)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
