Закон Біо-Савара: формулювання, виведення та застосування

Що таке закон Біо-Савара

Закон Біо-Савара — це рівняння, яке описує магнітне поле, що створюється постійним електричним струмом. Він пов'язує магнітне поле з величиною, напрямком, довжиною та близькістю електричного струму. Закон Біо-Савара сумісний з обох законом Ампера та теоремою Гаусса. Закон Біо-Савара є фундаментальним для магнетостатики, відіграючи роль, подібну до закону Кулона у електростатиці.

Закон Біо-Савара був створений двома французькими фізиками, Жаном Батистом Біо і Феліксом Саваром, які вивели математичний вираз для магнітної індукції в точці через близький провідник, що несе струм, у 1820 році. Спостерігаючи за відхиленням стрілки магнітного компаса, ці два вчені прийшли до висновку, що будь-який елемент струму проєктує магнітне поле в просторі навколо себе.

Шляхом спостережень та обчислень вони отримали математичний вираз, який показує, що магнітна індукція dB прямо пропорційна довжині елементу dl, струму I, синусу кута θ між напрямком струму та вектором, що з'єднує дану точку магнітного поля з елементом струму, і обернено пропорційна квадрату відстані від даної точки до елемента струму r.

Закон Біо-Савара: формулювання та виведення

Закон Біо-Савара можна сформулювати так:

Де k — константа, яка залежить від магнітних властивостей середовища та системи одиниць. У системі SI,

Отже, фінальне виведення закона Біо-Савара є таким,

Розглянемо довгий провідник, що несе струм I, та точку P в просторі. Провідник зображенний на картинці нижче червоною фарбою. Розглянемо нескінченно малий відрізок провідника dl на відстані r від точки P, як показано. Тут r — вектор відстані, який утворює кут θ з напрямком струму в нескінченно малому відрізку провідника.

Якщо спробувати візуалізувати цей стан, можна легко зрозуміти, що магнітна індукція в точці P через цей нескінченно малий відрізок провідника прямо пропорційна струму, що несе цей відрізок провідника.

Оскільки струм через цей нескінченно малий відрізок провідника такий самий, як струм, що несе весь провідник, ми можемо записати,

Також дуже природно думати, що магнітна індукція в цій точці P через цей нескінченно малий відрізок провідника обернено пропорційна квадрату прямої відстані від точки P до центру dl. Математично це можна записати так,

Нарешті, магнітне поле в цій точці P через цей нескінченно малий відрізок провідника також прямо пропорційне фактичній довжині нескінченно малого відрізку dl провідника.

Оскільки θ — це кут між вектором відстані r та напрямком струму через цей нескінченно малий відрізок провідника, компонента dl, що прямує перпендикулярно до точки P, є dlsinθ,

Тепер, об'єднуючи ці три твердження, ми можемо записати,

Це базова форма закону Біо-Савара

Тепер, підставивши значення сталої k (яку ми вже представили на початку цієї статті) у вищенаведений вираз, ми отримуємо

Тут, μ0 використаний у виразі сталої k є абсолютною магнітною проникністю повітря або вакууму, і його значення становить 4π10