قانون بیوت-ساوار: بیان، اثبات و کاربردها

قانون بیوت-ساوار چیست

قانون بیوت-ساوار یک معادله است که میدان مغناطیسی تولید شده توسط یک جریان الکتریکی ثابت را توصیف می‌کند. این قانون میدان مغناطیسی را با اندازه، جهت، طول و نزدیکی جریان الکتریکی مرتبط می‌کند. قانون بیوت-ساوار همگام با هر دو قانون آمپر دورانی و قضیه گاوس می‌باشد. قانون بیوت-ساوار در مغناطیس‌آرام نقشی مشابه با قانون کولون در الکترواستاتیک ایفا می‌کند.

قانون بیوت-ساوار توسط دو فیزیکدان فرانسوی، ژان باتیست بیوت و فلیکس ساوار در سال ۱۸۲۰ به دست آمد. آنها عبارت ریاضی برای چگالی شار مغناطیسی در یک نقطه به دلیل یک رساننده حامل جریان نزدیک، بدست آوردند. با مشاهده انحراف سوزن قطب‌نما مغناطیسی، این دو دانشمند به این نتیجه رسیدند که هر عنصر جریان یک میدان مغناطیسی را در فضا پروژه می‌کند.

از طریق مشاهدات و محاسبات، آنها عبارت ریاضی را بدست آورده‌اند که نشان می‌دهد، چگالی شار مغناطیسی dB مستقیماً متناسب با طول عنصر dl، جریان I، سینوس زاویه θ بین جهت جریان و برداری که یک نقطه خاص از میدان مغناطیسی و عنصر جریان را به هم متصل می‌کند و معکوساً متناسب با مجذور فاصله نقطه خاص از عنصر جریان r است.

بیان و استخراج قانون بیوت-ساوار

قانون بیوت-ساوار می‌تواند به صورت زیر بیان شود:

که در آن k یک ثابت است که بستگی به ویژگی‌های مغناطیسی محیط و سیستم واحد استفاده شده دارد. در سیستم SI،

بنابراین، استخراج نهایی قانون بیوت-ساوار به صورت زیر است،

فرض کنید یک سیم بلند حامل جریان I وجود دارد و همچنین یک نقطه P در فضا در نظر بگیرید. سیم در تصویر زیر با رنگ قرمز نشان داده شده است. فرض کنید یک طول بی‌نهایتاً کوچک از سیم dl در فاصله r از نقطه P مانند آنچه در تصویر نشان داده شده است. در اینجا r یک بردار فاصله است که زاویه θ را با جهت جریان در بخش بی‌نهایتاً کوچک سیم می‌سازد.

اگر شرایط را تصور کنید، می‌توانید به راحتی درک کنید که چگالی میدان مغناطیسی در نقطه P به دلیل طول بی‌نهایتاً کوچک dl از سیم مستقیماً متناسب با جریان حمل شده توسط این بخش از سیم است.

چون جریان از طریق طول بی‌نهایتاً کوچک سیم همان جریان حمل شده توسط سیم کامل است، می‌توانیم بنویسیم،

همچنین بسیار طبیعی است که فکر کنیم چگالی میدان مغناطیسی در آن نقطه P به دلیل طول بی‌نهایتاً کوچک dl از سیم معکوساً متناسب با مجذور فاصله مستقیم از نقطه P تا مرکز dl است. به صورت ریاضی می‌توانیم این را به صورت زیر بنویسیم،

در نهایت، میدان مغناطیسی در آن نقطه P به دلیل بخش بی‌نهایتاً کوچک سیم مستقیماً متناسب با طول واقعی بخش بی‌نهایتاً کوچک dl از سیم است.

چون θ زاویه بین بردار فاصله r و جهت جریان در این بخش بی‌نهایتاً کوچک سیم است، مولفه dl که مستقیماً عمود بر نقطه P است dlsinθ است،

حالا، با ترکیب این سه بیانیه، می‌توانیم بنویسیم،

این شکل اساسی قانون بیوت-ساوار است.

حالا، با قرار دادن مقدار ثابت k (که در ابتدای این مقاله معرفی کردیم) در عبارت فوق، می‌گیریم

در اینجا، μ0 است که در عبارت ثابت k استفاده شده است تراوایی مغناطیسی مطلق هوا یا خلاء است و مقدار آن ۴π10-7 W