قانون بيوت سافار: الصيغة، الاشتقاق والتطبيقات

ما هو قانون بييوت سافارت

قانون بييوت سافارت هو معادلة تصف الحقل المغناطيسي الذي ينتج عن تيار كهربائي ثابت. يربط هذا القانون الحقل المغناطيسي بحجم واتجاه وطول وقُرب التيار الكهربائي. يتماشى قانون بييوت-سافارت مع كل من قانون أمبير الدائري ونظرية جاوس. يعتبر قانون بييوت سافارت أساسياً في مجال المغناطيسية الثابتة، حيث يلعب دوراً مشابهاً لدور قانون كولوم في المجال الكهربائي الثابت.

قانون بييوت-سافارت تم وضعه بواسطة عالمين فرنسيين هما جان بابتيست بييوت وفيلكس سافارت، اللذين اشتقا التعبير الرياضي لـ كثافة التدفق المغناطيسي عند نقطة معينة بسبب مُوصل حامل للتيار القريب منه، في عام 1820. من خلال ملاحظة انحراف إبرة بوصلة مغناطيسية، استنتج هذان العالمان أن أي عنصر تيار يُصدر حقلًا مغناطيسيًا في الفضاء حوله.

من خلال الملاحظات والحسابات، استنتجا تعبيراً رياضياً يوضح أن كثافة التدفق المغناطيسي dB، تكون متناسبة بشكل مباشر مع طول العنصر dl، والتيار I، وجيب الزاوية θ بين اتجاه التيار والمتجه الذي يربط نقطة معينة في الحقل المغناطيسي والعنصري الحالي، وتعكس التناسب العكسي لمربع المسافة r من النقطة المعنية إلى العنصر الحالي.

بيان ومشتقة قانون بييوت سافارت

يمكن صياغة قانون بييوت-سافارت كما يلي:

حيث k هي ثابتة تعتمد على الخصائص المغناطيسية للمادة ونظام الوحدات المستخدم. في نظام الوحدات الدولي،

وبالتالي، فإن المشتقة النهائية لـ قانون بييوت سافارت هي،

لنفترض وجود سلك طويل يحمل تيارًا كهربائيًا I ولنأخذ نقطة P في الفضاء. يتم تقديم السلك في الصورة أدناه باللون الأحمر. لنفترض أيضًا وجود طول لا نهائي صغير من السلك dl على مسافة r من النقطة P كما هو موضح. هنا، r هو متجه المسافة الذي يشكل زاوية θ مع اتجاه التيار في الجزء اللانهائي الصغير من السلك.

إذا حاولت تصور الحالة، يمكنك بسهولة فهم أن كثافة المجال المغناطيسي عند النقطة P بسبب تلك الطول اللانهائي الصغير dl من السلك تكون متناسبة بشكل مباشر مع التيار الذي يمر عبر هذا الجزء من السلك.

بما أن التيار عبر ذلك الجزء اللانهائي الصغير من السلك هو نفسه التيار الذي يمر عبر السلك بأكمله، يمكننا كتابة،

من الطبيعي أيضًا أن نفكر في أن كثافة المجال المغناطيسي عند تلك النقطة P بسبب ذلك الجزء اللانهائي الصغير dl من السلك تكون متناسبة عكسياً مع مربع المسافة المستقيمة من النقطة P إلى مركز dl. يمكننا كتابة ذلك رياضياً كالتالي،

أخيراً، كثافة المجال المغناطيسي عند تلك النقطة P بسبب ذلك الجزء اللانهائي الصغير من السلك تكون متناسبة بشكل مباشر مع الطول الفعلي للجزء اللانهائي الصغير dl من السلك.

حيث θ هي الزاوية بين متجه المسافة r واتجاه التيار عبر هذا الجزء اللانهائي الصغير من السلك، فإن الجزء من dl الذي يواجه النقطة P بشكل عمودي هو dlsinθ،

الآن، من خلال دمج هذه الثلاثة بيانات، يمكننا كتابة،

هذا هو الشكل الأساسي لـ قانون بييوت سافارت

الآن، بوضع قيمة الثابت k (والذي قد أدخلناه في بداية هذا المقال) في التعبير أعلاه، نحصل على

هنا، μ0 المستخدمة في تعبير الثابت k هي النفاذية المغناطيسية المطلقة للهواء أو الفراغ وقيمته 4π10-7 Wb/ A-m في نظام الوحدات الدولي. μr في تعبير الثابت k هي النفاذية المغناطيسية النسبية للمادة.

الآن، يمكن تمثيل كثافة التدفق B عند النقطة P بسبب طول السلك الكهربائي