Закон на Био-Савар: Формулировка, Извод и Приложения

Какво е Законът на Био-Савар

Законът на Био-Савар е уравнение, което описва магнитното поле, генерирано от постоянен електрически ток. Той свързва магнитното поле с големината, посоката, дължината и близостта на електрическия ток. Законът на Био-Савар е съвместим както с закона на Ампер за циркуляция, така и с теоремата на Гаус. Законът на Био-Савар е фундаментален за магнитостатиката, играейки роля, подобна на тази на закона на Кулон в електростатиката.

Законът на Био-Савар е създаден от двама френски физици, Жан Батист Био и Феликс Савар, които изведоха математическото изразяване за плътността на магнитния поток в точка, породена от близък проводник, пренасящ ток, през 1820 година. Наблюдайки отклонението на магнитна компасна игла, тези два учени стигнаха до заключението, че всеки елемент на тока проектира магнитно поле в пространството около него.

Чрез наблюдения и изчисления те изведоха математически израз, който показва, че плътността на магнитния поток dB е прямо пропорционална на дължината на елемента dl, тока I, синуса на ъгъла θ между посоката на тока и вектора, свързващ дадена точка от магнитното поле и елемента на тока, и обратнопропорционална на квадрата на разстоянието r от дадената точка до елемента на тока.

Изказване и извеждане на закона на Био-Савар

Законът на Био-Савар може да бъде формулиран като:

Където k е константа, зависеща от магнитните свойства на средата и системата от единици, използвана. В SI система от единици,

Следователно, окончателното извеждане на закона на Био-Савар е,

Да разгледаме дълга жица, пренасяща ток I, и да вземем предвид точка p в пространството. Жицата е представена на картинката по-долу с червен цвят. Да разгледаме и безкрайно малко дължина от жицата dl на разстояние r от точка P, както е показано. Тук, r е вектор на разстоянието, който прави ъгъл θ с посоката на тока в безкрайно малката част от жицата.

Ако се опитате да визуализирате условието, можете лесно да разберете, че плътността на магнитното поле в точка P, причинена от тази безкрайно малка дължина dl от жицата, е прямо пропорционална на тока, пренасян от тази част от жицата.

Тъй като токът през тази безкрайно малка дължина от жицата е същият като токът, пренасян от цялата жица, можем да запишем,

Естествено е да се помисли, че плътността на магнитното поле в тази точка P, причинена от тази безкрайно малка дължина dl от жицата, е обратнопропорционална на квадрата на праволинейното разстояние от точка P до центъра на dl. Математически можем да запишем това като,

Накрая, магнитното поле в тази точка P, причинено от тази безкрайно малка част от жицата, е също прямо пропорционално на действителната дължина на безкрайно малката дължина dl от жицата.

Тъй като θ е ъгълът между вектора на разстоянието r и посоката на тока през тази безкрайно малка част от жицата, компонентата на dl, която е перпендикулярна към точка P, е dlsinθ,

Сега, комбинирайки тези три твърдения, можем да запишем,

Това е основната форма на закона на Био-Савар

Сега, като въведем стойността на константата k (която вече сме представили в началото на този текст) в горния израз, получаваме

Тук, μ0, използван в израза на константата k, е абсолютна проницаемост на въздуха или вакуума, а нейната стойност е 4π10