Legge di Biot-Savart: Enunciato Derivazione e Applicazioni
Cos'è la legge di Biot-Savart
La legge di Biot-Savart è un'equazione che descrive il campo magnetico generato da una corrente elettrica costante. Essa relaziona il campo magnetico con l'intensità, la direzione, la lunghezza e la vicinanza della corrente elettrica. La legge di Biot-Savart è coerente sia con la legge di Ampère che con il teorema di Gauss. La legge di Biot-Savart è fondamentale per la magnetostatica, svolgendo un ruolo simile a quello della legge di Coulomb nell'elettrostatica.
La legge di Biot-Savart fu formulata dai due fisici francesi Jean Baptiste Biot e Felix Savart, che nel 1820 derivarono l'espressione matematica per la densità di flusso magnetico in un punto dovuta a un conduttore portatore di corrente vicino. Osservando la deflessione dell'ago di una bussola magnetica, questi due scienziati conclusero che ogni elemento di corrente proietta un campo magnetico nello spazio circostante.
Attraverso osservazioni e calcoli, essi avevano derivato un'espressione matematica, che mostra come la densità di flusso magnetico dB sia direttamente proporzionale alla lunghezza dell'elemento dl, alla corrente I, al seno dell'angolo θ tra la direzione della corrente e il vettore che unisce un dato punto del campo magnetico e l'elemento di corrente, ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza del punto dato dall'elemento di corrente, r.
Enunciato e Derivazione della Legge di Biot-Savart
La legge di Biot-Savart può essere enunciata come segue:
Dove k è una costante che dipende dalle proprietà magnetiche del mezzo e dal sistema di unità utilizzato. Nel sistema internazionale di unità (SI),
Quindi, la derivazione finale della legge di Biot-Savart è,
Consideriamo un filo lungo che porta una corrente I e consideriamo un punto P nello spazio. Il filo è rappresentato nella figura seguente in rosso. Consideriamo anche un elemento infinitesimale dl del filo a una distanza r dal punto P, come mostrato. Qui, r è un vettore di distanza che forma un angolo θ con la direzione della corrente nell'elemento infinitesimale del filo.
Se si cerca di visualizzare la situazione, si può facilmente comprendere che la densità del campo magnetico nel punto P dovuta a quell'elemento infinitesimale dl del filo è direttamente proporzionale alla corrente trasportata da quella porzione del filo.
Poiché la corrente attraverso quell'elemento infinitesimale del filo è la stessa della corrente trasportata dal filo intero, possiamo scrivere,
È anche molto naturale pensare che la densità del campo magnetico in quel punto P dovuta a quell'elemento infinitesimale dl del filo sia inversamente proporzionale al quadrato della distanza rettilinea dal punto P al centro di dl. Matematicamente possiamo scrivere questo come,
Infine, la densità del campo magnetico in quel punto P dovuta a quell'elemento infinitesimale del filo è anche direttamente proporzionale alla lunghezza effettiva dell'elemento infinitesimale dl del filo.
Essendo θ l'angolo tra il vettore di distanza r e la direzione della corrente attraverso quell'elemento infinitesimale del filo, la componente di dl che si trova perpendicolarmente al punto P è dlsinθ,
Ora, combinando queste tre affermazioni, possiamo scrivere,
Questa è la forma base della legge di Biot-Savart
Ora, sostituendo il valore della costante k (che abbiamo già introdotto all'inizio di questo articolo) nell'espressione sopra, otteniamo
Qui, μ0 utilizzata nell'espressione della costante k è la permeabilità assoluta dell'aria o del vuoto e il suo valore è 4π10-7 Wb/ A-m nel sistema internazionale di unità. μr dell'espressione della costante k è la permeabilità relativa del mezzo.
Ora, la densità di flusso (B) nel punto P dovuta alla lunghezza totale del conduttore portatore di corrente può essere rappresentata come,
