Lei de Biot-Savart: Enunciado Derivación e Aplicacións
Que é a Lei de Biot-Savart
A Lei de Biot-Savart é unha ecuación que describe o campo magnético xerado por unha corrente eléctrica constante. Relaciona o campo magnético coa magnitude, dirección, lonxitude e proximidade da corrente eléctrica. A lei de Biot-Savart é consistente tanto coa lei de Ampère como co teorema de Gauss. A lei de Biot-Savart é fundamental na magnetostática, desempeñando un papel similar ao da lei de Coulomb na electrostática.
A lei de Biot-Savart foi creada por dous físicos franceses, Jean Baptiste Biot e Felix Savart, que derivaron a expresión matemática para a densidade do fluxo magnético nun punto debido a un conductor próximo que transporta corrente, en 1820. Observando a desviación dunha agulla de brúixula, estes dous científicos concluíron que calquera elemento de corrente proxecta un campo magnético no espazo arredor del.
A través das observacións e cálculos, derivaron unha expresión matemática que mostra que a densidade do fluxo magnético dB, é directamente proporcional á lonxitude do elemento dl, a corrente I, o seno do ángulo θ entre a dirección da corrente e o vector que une un punto dado do campo magnético e o elemento de corrente, e é inversamente proporcional ao cadrado da distancia do punto dado do elemento de corrente, r.
Enunciado e Derivación da Lei de Biot-Savart
A lei de Biot-Savart pode ser enunciada como:
Onde, k é unha constante, dependente das propiedades magnéticas do medio e do sistema de unidades empregado. No sistema internacional de unidades,
Por tanto, a derivación final da lei de Biot-Savart é,
Consideremos un fío longo que transporta unha corrente I e tamén consideremos un punto P no espazo. O fío está representado na imaxe abaixo, en vermello. Consideremos tamén unha lonxitude infinitesimal do fío dl a unha distancia r do punto P, como se mostra. Aquí, r é un vector de distancia que forma un ángulo θ coa dirección da corrente no fragmento infinitesimal do fío.
Se intentas visualizar a condición, podes entender facilmente que a densidade do campo magnético no punto P debido a esa lonxitude infinitesimal dl do fío é directamente proporcional á corrente transportada por esa parte do fío.
Como a corrente a través desa lonxitude infinitesimal do fío é a mesma que a corrente transportada polo fío enteiro, podemos escribir,
É tamén moi natural pensar que a densidade do campo magnético nese punto P debido a esa lonxitude infinitesimal dl do fío é inversamente proporcional ao cadrado da distancia recta desde o punto P ao centro de dl. Matematicamente, podemos escribir isto como,
Finalmente, a densidade do campo magnético nese punto P debido a esa porción infinitesimal do fío tamén é directamente proporcional á lonxitude real da lonxitude infinitesimal dl do fío.
Como θ sexa o ángulo entre o vector de distancia r e a dirección da corrente a través desta porción infinitesimal do fío, a compoñente de dl que se dirixe perpendicularmente ao punto P é dlsinθ,
Agora, combinando estas tres afirmacións, podemos escribir,
Esta é a forma básica da lei de Biot-Savart
Agora, introducindo o valor da constante k (que xa presentamos ao principio deste artigo) na expresión anterior, obtemos
Aquí, μ0 usado na expresión da constante k é a permeabilidade absoluta do aire ou do vacío e o seu valor é 4π10-7 Wb/ A-m no sistema internacional de unidades. μr da expresión da constante k é a permeabilidade relativa do medio.
Agora, a densidade de fluxo (B) no punto P debido á lonxitude total do conductor que transporta corrente ou fío pode representarse como,
