Loi de Biot-Savart : Énoncé, Dérivation et Applications

Qu'est-ce que la loi de Biot-Savart

La loi de Biot-Savart est une équation décrivant le champ magnétique généré par un courant électrique constant. Elle relie le champ magnétique à l'intensité, la direction, la longueur et la proximité du courant électrique. La loi de Biot-Savart est cohérente avec les lois d’Ampère et de Gauss. La loi de Biot-Savart est fondamentale en magnétostatique, jouant un rôle similaire à celui de la loi de Coulomb en électrostatique.

La loi de Biot-Savart a été créée par deux physiciens français, Jean Baptiste Biot et Félix Savart, qui ont dérivé l'expression mathématique de la densité de flux magnétique en un point dû à un conducteur porteur de courant proche, en 1820. En observant la déviation d'une aiguille de boussole, ces deux scientifiques ont conclu que tout élément de courant projette un champ magnétique dans l'espace autour de lui.

À travers des observations et des calculs, ils avaient dérivé une expression mathématique, qui montre que la densité de flux magnétique dB est directement proportionnelle à la longueur de l'élément dl, au courant I, au sinus de l'angle θ entre la direction du courant et le vecteur reliant un point donné du champ magnétique et l'élément de courant, et est inversement proportionnelle au carré de la distance du point donné à l'élément de courant, r.

Énoncé et dérivation de la loi de Biot-Savart

La loi de Biot-Savart peut être énoncée comme suit :

Où k est une constante, dépendant des propriétés magnétiques du milieu et du système d'unités utilisé. Dans le système international d'unités,

Par conséquent, la dérivation finale de la loi de Biot-Savart est,

Considérons un fil long porteur d'un courant I et un point P dans l'espace. Le fil est représenté en rouge dans l'image ci-dessous. Considérons également une longueur infiniment petite du fil dl à une distance r du point P, comme indiqué. Ici, r est un vecteur de distance qui fait un angle θ avec la direction du courant dans la portion infinitésimale du fil.

Si vous essayez de visualiser la condition, vous pouvez facilement comprendre que la densité de champ magnétique au point P due à cette longueur infinitésimale dl du fil est directement proportionnelle au courant transporté par cette portion du fil.

Comme le courant à travers cette longueur infinitésimale de fil est le même que le courant transporté par l'ensemble du fil, nous pouvons écrire,

Il est également naturel de penser que la densité de champ magnétique à ce point P due à cette longueur infinitésimale dl de fil est inversement proportionnelle au carré de la distance droite du point P au centre de dl. Mathématiquement, nous pouvons écrire ceci comme suit,

Enfin, la densité de champ magnétique à ce point P due à cette portion infinitésimale du fil est également directement proportionnelle à la longueur réelle de la longueur infinitésimale dl du fil.

Comme θ est l'angle entre le vecteur de distance r et la direction du courant à travers cette portion infinitésimale du fil, la composante de dl directement face perpendiculairement au point P est dlsinθ,

Maintenant, en combinant ces trois affirmations, nous pouvons écrire,

Ceci est la forme de base de la loi de Biot-Savart

Maintenant, en insérant la valeur de la constante k (que nous avons déjà introduite au début de cet article) dans l'expression ci-dessus, nous obtenons

Ici, μ0 utilisé dans l'expression de la constante k est la perméabilité absolue de l'air ou du vide, et sa valeur est 4π10-7 Wb/ A-m dans le système international d'unités. μr de l'expression de la constante k est la perméabilité relative du milieu.

Maintenant, la densité de flux (B) au point P due à la longueur totale du conducteur porteur de courant ou du fil peut être représentée comme suit,