Biot-Savart-Gesetz: Aussage, Herleitung und Anwendungen

Was ist das Biot-Savart-Gesetz

Das Biot-Savart-Gesetz ist eine Gleichung, die das Magnetfeld beschreibt, das durch einen konstanten elektrischen Strom erzeugt wird. Es verknüpft das Magnetfeld mit der Stärke, Richtung, Länge und Nähe des elektrischen Stroms. Das Biot-Savart-Gesetz ist konsistent sowohl mit dem Ampèreschen Umfangsgesetz als auch mit dem Gaußschen Satz. Das Biot-Savart-Gesetz ist fundamental für die Magnetostatik und spielt in dieser Disziplin eine Rolle, die der von Coulombsches Gesetz in der Elektrostatik entspricht.

Das Biot-Savart-Gesetz wurde von den beiden französischen Physikern Jean Baptiste Biot und Felix Savart entwickelt, die 1820 den mathematischen Ausdruck für die magnetische Flussdichte an einem Punkt aufgrund eines in der Nähe befindlichen stromführenden Leiters hergeleitet. Beobachtend die Abweichung einer magnetischen Kompassnadel, kamen diese beiden Wissenschaftler zu dem Schluss, dass jedes Stromelement ein Magnetfeld in den Raum um es herum projiziert.

Durch Beobachtungen und Berechnungen hatten sie einen mathematischen Ausdruck abgeleitet, der zeigt, dass die magnetische Flussdichte dB direkt proportional zur Länge des Elements dl, dem Strom I, dem Sinus des Winkels θ zwischen der Richtung des Stroms und dem Vektor, der einen bestimmten Punkt des Magnetfelds mit dem Stromelement verbindet, und indirekt proportional zum Quadrat des Abstands des betrachteten Punkts vom Stromelement r ist.

Aussage und Herleitung des Biot-Savart-Gesetzes

Das Biot-Savart-Gesetz kann wie folgt formuliert werden:

Wobei k eine Konstante ist, die von den magnetischen Eigenschaften des Mediums und dem verwendeten Einheitensystem abhängt. Im SI-Einheitensystem,

Die endgültige Herleitung des Biot-Savart-Gesetzes lautet also,

Betrachten wir nun einen langen Draht, der einen Strom I führt, und einen Punkt P im Raum. Der Draht wird im Bild unten in rot dargestellt. Betrachten wir auch ein unendlich kleines Längenelement dl des Drahts, das sich in einem Abstand r vom Punkt P befindet, wie in der Abbildung gezeigt. Hierbei ist r ein Abstandsvektor, der einen Winkel θ mit der Stromrichtung im infinitesimalen Teil des Drahts bildet.

Wenn man sich die Situation vorstellt, kann man leicht verstehen, dass die magnetische Flussdichte am Punkt P aufgrund dieses infinitesimalen Drahtabschnitts dl direkt proportional zum Strom, der durch diesen Teil des Drahts fließt, ist.

Da der Strom durch dieses infinitesimale Drahtstück gleich dem Strom ist, der durch den gesamten Draht fließt, können wir schreiben,

Es ist auch sehr natürlich, anzunehmen, dass die magnetische Flussdichte an diesem Punkt P aufgrund dieses infinitesimalen Drahtabschnitts dl indirekt proportional zum Quadrat des geraden Abstands vom Punkt P zum Mittelpunkt von dl ist. Mathematisch können wir dies so ausdrücken:

Schließlich ist die magnetische Flussdichte an diesem Punkt P aufgrund dieses infinitesimalen Drahtabschnitts auch direkt proportional zur tatsächlichen Länge des infinitesimalen Drahtabschnitts dl.

Da θ der Winkel zwischen dem Abstandsvektor r und der Stromrichtung in diesem infinitesimalen Drahtabschnitt ist, ist die Komponente von dl, die senkrecht zum Punkt P zeigt, dlsinθ,

Nun, wenn wir diese drei Aussagen kombinieren, können wir schreiben,

Dies ist die grundlegende Form des Biot-Savart-Gesetzes

Nun, wenn wir den Wert der Konstanten k (die wir bereits am Anfang dieses Artikels eingeführt haben) in den obigen Ausdruck einsetzen, erhalten wir

Hierbei ist μ0, das in dem Ausdruck der Konstanten k verwendet wird, die absolute Permeabilität der Luft oder des Vakuums, und ihr Wert beträgt 4π10-7 Wb/ A-m im SI-Einheitensystem. μr in dem Ausdruck der Konstanten k ist die relative Permeabilität des Mediums.