Lei de Biot-Savart: Enunciado Derivação e Aplicações
O que é a Lei de Biot-Savart
A Lei de Biot-Savart é uma equação que descreve o campo magnético gerado por uma corrente elétrica constante. Ela relaciona o campo magnético à magnitude, direção, comprimento e proximidade da corrente elétrica. A lei de Biot-Savart é consistente tanto com a lei de Ampère quanto com o teorema de Gauss. A lei de Biot-Savart é fundamental para a magnetostática, desempenhando um papel semelhante ao da lei de Coulomb na eletrostática.
A lei de Biot-Savart foi criada por dois físicos franceses, Jean Baptiste Biot e Félix Savart, que derivaram a expressão matemática para a densidade de fluxo magnético em um ponto devido a um condutor carregado de corrente próximo, em 1820. Observando a deflexão de uma bússola magnética, esses dois cientistas concluíram que qualquer elemento de corrente projeta um campo magnético no espaço ao seu redor.
Através de observações e cálculos, eles derivaram uma expressão matemática, que mostra que a densidade de fluxo magnético dB é diretamente proporcional ao comprimento do elemento dl, à corrente I, ao seno do ângulo θ entre a direção da corrente e o vetor que une um determinado ponto do campo magnético e o elemento de corrente, e inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto dado do elemento de corrente, r.
Afirmação e Derivação da Lei de Biot-Savart
A lei de Biot-Savart pode ser enunciada como:
Onde k é uma constante, dependendo das propriedades magnéticas do meio e do sistema de unidades empregado. No sistema internacional de unidades (SI),
Portanto, a derivação final da lei de Biot-Savart é,
Consideremos um fio longo carregando uma corrente I e também consideremos um ponto P no espaço. O fio é representado na imagem abaixo pela cor vermelha. Consideremos também um comprimento infinitesimal do fio dl a uma distância r do ponto P, conforme mostrado. Aqui, r é um vetor de distância que forma um ângulo θ com a direção da corrente no elemento infinitesimal do fio.
Se você tentar visualizar a condição, pode entender facilmente que a densidade do campo magnético no ponto P devido a esse comprimento infinitesimal dl do fio é diretamente proporcional à corrente transportada por essa porção do fio.
Como a corrente através desse comprimento infinitesimal do fio é a mesma que a corrente transportada pelo fio inteiro, podemos escrever,
É também muito natural pensar que a densidade do campo magnético nesse ponto P devido a esse comprimento infinitesimal dl do fio é inversamente proporcional ao quadrado da distância reta do ponto P ao centro de dl. Matematicamente, podemos escrever isso como,
Por fim, a densidade do campo magnético nesse ponto P devido a essa porção infinitesimal do fio é também diretamente proporcional ao comprimento real do comprimento infinitesimal dl do fio.
Como θ seja o ângulo entre o vetor de distância r e a direção da corrente através dessa porção infinitesimal do fio, a componente de dl que se opõe perpendicularmente ao ponto P é dlsinθ,
Agora, combinando essas três afirmações, podemos escrever,
Esta é a forma básica da Lei de Biot-Savart
Agora, colocando o valor da constante k (que já introduzimos no início deste artigo) na expressão acima, obtemos
Aqui, μ0 usada na expressão da constante k é a permeabilidade absoluta do ar ou do vácuo, e seu valor é 4π10-7 Wb/ A-m no sistema internacional de unidades. μr da expressão da constante k é a permeabilidade relativa do meio.
Agora, a densidade de fluxo (B) no ponto P devido ao comprimento total do condutor carregado de corrente ou fio pode ser representada como,
