חוק ביוט-סאוואר: טענה, נגזרת ושימושים

מהו חוק ביוט-סבאר

חוק ביוט-סבאר הוא משוואה המתארת את השדה המגנטי שנוצר על ידי זרם חשמלי קבוע. הוא מקשר בין השדה המגנטי למגניטודה, כיוון, אורך וקרבה של הזרם החשמלי. חוק ביוט-סבאר תואם גם ל-חוק אמפר הסיבובי ול-משפט גאוס. חוק ביוט-סבאר הוא בסיסי עבור מגנטוסטטיקה ושיחק תפקיד דומה לזה של חוק קולון באלקטרוסטטיקה.

חוק ביוט-סבאר נוצר על ידי שני פיזיקאים צרפתים, ז'אן בטיסט ביוט ופליקס סבאר שפיתחו את הביטוי המתמטי עבור צפיפות השדה המגנטי בנקודה מסוימת בשל מוליך הנושא זרם סמוך, בשנת 1820. באמצעות צפיה במשיכת מחץ מגנטי, המדענים הללו הגיעו למסקנה שכל אלמנט זרם מפיץ שדה מגנטי למרחב סביבו.

באמצעות תצפיות והישגים, הם פיתחו ביטוי מתמטי המראה כי צפיפות השדה המגנטי dB היא ישירה עם האורך של האלמנט dl, הזרם I, סינוס הזווית θ בין כיוון הזרם לבין הווקטור המחבר נקודה נתונה בשדה המגנטי לבין אלמנט הזרם והיא הפוכה לריבוע המרחק של הנקודה הנתונה מהאלמנט של הזרם, r.

חוק ביוט-סבאר: הצהרה ודירוג

חוק ביוט-סבאר יכול להימסר כך:

כאשר, k הוא קבוע תלוי במגנטיות של החומר ובמערכת היחידות המשמשת. ב-מערכת היחידות SI,

לכן, הנוסחה הסופית של חוק ביוט-סבאר היא,

נניח שיש לנו כבל ארוך הנושא זרם I ונחשוב על נקודה P במרחב. הכבל מיוצג בתמונה בצבע אדום. נניח גם שאנו מתחשבים באורך אינפיניטסימלי של הכבל dl במרחק r מהנקודה P כפי שמוצג. כאן, r הוא וקטור מרחק המהווה זווית θ עם כיוון הזרם בחלק האינפיניטסימלי של הכבל.

אם תנסה לדמיין את התנאי, תוכל להבין בקלות כי צפיפות השדה המגנטי בנקודה P עקב האורך האינפיניטסימלי dl של הכבל היא ישירה עם הזרם הנושא על ידי חלק זה של הכבל.

כשהזרם דרך האורך האינפיניטסימלי של הכבל הוא אותו כמו הזרם הנושא על ידי כל הכבל עצמו, אפשר לכתוב,

זה גם טבעי לחשוב שהצפיפות של השדה המגנטי בנקודה P עקב האורך האינפיניטסימלי dl של הכבל היא הפוכה לריבוע המרחק הישר מהנקודה P למרכז dl. מתמטית אפשר לכתוב זאת כך,

לבסוף, השדה המגנטי בנקודה P עקב האורך האינפיניטסימלי של הכבל הוא גם ישירות עם האורך האמיתי של האורך האינפיניטסימלי dl של הכבל.

כשθ היא הזווית בין וקטור המרחק r לכיוון הזרם דרך החלק האינפיניטסימלי של הכבל, הקומפוננט של dl המסתכל מאוזן בניצב לנקודה P הוא dlsinθ,

עכשיו, כשהוא משילב את שלושת ההצהרות הללו, אפשר לכתוב,

זו היא הצורה הבסיסית של חוק ביוט-סבאר.

עכשיו, כשנכניס את ערך הקבוע k (שלאחר שהצגנו בהתחלה של המאמר) בביטוי למעלה, נקבל

כאן, μ0 המשמש בביטוי של הקבוע k הוא המגנטואורסיביות המוחלטת של אוויר או וקום וערך שלו הוא 4π10-7 Wb/ A-m במערכת היחידות SI. μr של הביטוי של הקבוע k הוא המגנטואורסיביות היחסית של החומר.

עכשיו, צפיפות הפלוקס B בנקודה P עקב האורך הכולל של הכבל הנושא זרם המוליך החשמלי