Wykres Bodego margines wzmocnienia i margines fazowy (Plus Diagramy)

Co to jest wykres Bodego

Wykres Bodego to graf często stosowany w inżynierii systemów sterowania do określenia stabilności systemu sterowania. Wykres Bodego mapuje odpowiedź częstotliwościową systemu za pomocą dwóch wykresów – wykresu amplitudowego Bodego (wyrażającego amplitudę w decybelach) i wykresu fazowego Bodego (wyrażającego przesunięcie fazowe w stopniach).

Wykresy Bodego zostały po raz pierwszy wprowadzone w latach 30. przez Hendrika Wade Bodego, gdy pracował w Bell Labs w Stanach Zjednoczonych. Choć wykresy Bodego oferują stosunkowo prostą metodę obliczania stabilności systemu, nie mogą one obsługiwać funkcji przejściowych z osobliwościami w prawej półpłaszczyźnie zespolonej (w przeciwieństwie do kryterium stabilności Nyquista).

Zrozumienie marży wzmocnienia i marży fazowej jest kluczowe do zrozumienia wykresów Bodego. Te terminy są zdefiniowane poniżej.

Marża wzmocnienia

Im większa marża wzmocnienia (GM), tym większa stabilność systemu. Marża wzmocnienia odnosi się do ilości wzmocnienia, którą można zwiększyć lub zmniejszyć bez destabilizacji systemu. Jest zwykle wyrażana jako wartość w decybelach.

Możemy zwykle odczytać marżę wzmocnienia bezpośrednio z wykresu Bodego (jak pokazano na powyższym diagramie). Robimy to, obliczając pionową odległość między krzywą amplitudową (na wykresie amplitudowym Bodego) a osią x w częstotliwości, gdzie wykres fazowy Bodego = 180°. Ten punkt nazywany jest częstotliwością skrzyżowania fazowego.

Ważne jest zrozumienie, że wzmocnienie i marża wzmocnienia to nie to samo. W rzeczywistości, marża wzmocnienia to ujemna wartość wzmocnienia (w decybelach, dB). To będzie miało sens, gdy spojrzymy na wzór na marżę wzmocnienia.

Wzór na marżę wzmocnienia

Wzór na marżę wzmocnienia (GM) może być wyrażony jako:

Gdzie G to wzmocnienie. Jest to amplituda (w dB) odczytana z pionowej osi wykresu amplitudowego w częstotliwości skrzyżowania fazowego.

W naszym przykładzie przedstawionym na powyższym wykresie, wzmocnienie (G) wynosi 20. Stosując nasz wzór na marżę wzmocnienia, marża wzmocnienia wynosi 0 – 20 dB = -20 dB (niestabilny).

Marża fazowa

Im większa marża fazowa (PM), tym większa stabilność systemu. Marża fazowa odnosi się do ilości przesunięcia fazowego, które można zwiększyć lub zmniejszyć bez destabilizacji systemu. Jest zwykle wyrażana jako przesunięcie fazowe w stopniach.

Możemy zwykle odczytać marżę fazową bezpośrednio z wykresu Bodego (jak pokazano na powyższym diagramie). Robimy to, obliczając pionową odległość między krzywą fazową (na wykresie fazowym Bodego) a osią x w częstotliwości, gdzie wykres amplitudowy Bodego = 0 dB. Ten punkt nazywany jest częstotliwością skrzyżowania amplitudowego.

Ważne jest zrozumienie, że opóźnienie fazowe i marża fazowa to nie to samo. To będzie miało sens, gdy spojrzymy na wzór na marżę fazową.

Wzór na marżę fazową

Wzór na marżę fazową (PM) może być wyrażony jako:

Gdzie to opóźnienie fazowe (liczba mniejsza od 0). Jest to przesunięcie fazowe odczytane z pionowej osi wykresu fazowego w częstotliwości skrzyżowania amplitudowego.

W naszym przykładzie przedstawionym na powyższym wykresie, opóźnienie fazowe wynosi -189°. Stosując nasz wzór na marżę fazową, marża fazowa wynosi -189° – (-180°) = -9° (niestabilny).

Jako kolejny przykład, jeśli otwarte wzmocnienie wzmacniacza przekracza 0 dB w częstotliwości, gdzie opóźnienie fazowe wynosi -120°, to opóźnienie fazowe wynosi -120°. Stąd marża fazowa tego systemu sprzężenia zwrotnego wynosi -120° – (-180°) = 60° (stabilny).

Napiwek