نمودار بود، حاشیه برد و حاشیه فاز (به همراه نمودارها)

چیست نمودار بوده

نمودار بوده یک نمودار است که معمولاً در مهندسی سیستم‌های کنترل برای تعیین پایداری یک سیستم کنترل استفاده می‌شود. نمودار بوده پاسخ فرکانسی سیستم را از طریق دو نمودار - نمودار بزرگی بوده (که بزرگی را به دسی‌بل بیان می‌کند) و نمودار فاز بوده (که تغییر فاز را به درجه بیان می‌کند) - نمایش می‌دهد.

نمودارهای بوده اولین بار در دهه ۱۹۳۰ توسط هندریک وید بوده زمانی که در آزمایشگاه‌های بل در ایالات متحده کار می‌کرد معرفی شدند. اگرچه نمودارهای بوده روش نسبتاً ساده‌ای برای محاسبه پایداری سیستم ارائه می‌دهند، اما نمی‌توانند توابع انتقال با تکینگی‌های در نیمه صفحه راست (در مقابل معیار پایداری نایکوئیست) را مدیریت کنند.

درک حاشیه بزرگی و حاشیه فاز برای درک نمودارهای بوده ضروری است. این موارد در زیر تعریف شده‌اند.

حاشیه بزرگی

هرچه حاشیه بزرگی (GM) بیشتر باشد، پایداری سیستم نیز بیشتر خواهد بود. حاشیه بزرگی به مقدار بزرگی اشاره دارد که می‌تواند افزایش یا کاهش یابد بدون اینکه سیستم ناپایدار شود. معمولاً به صورت بزرگی به دسی‌بل بیان می‌شود.

می‌توانیم معمولاً حاشیه بزرگی را مستقیماً از نمودار بوده (همان‌طور که در نمودار بالا نشان داده شده) بخوانیم. این کار با محاسبه فاصله عمودی بین منحنی بزرگی (در نمودار بزرگی بوده) و محور x در فرکانسی که نمودار فاز بوده برابر ۱۸۰° است انجام می‌شود. این نقطه به عنوان فرکانس عبور فاز شناخته می‌شود.

باید درک کرد که بزرگی و حاشیه بزرگی یکسان نیستند. در واقع، حاشیه بزرگی قرینه بزرگی (به دسی‌بل) است. این موضوع وقتی به فرمول حاشیه بزرگی نگاه می‌کنیم معنی می‌یابد.

فرمول حاشیه بزرگی

فرمول حاشیه بزرگی (GM) می‌تواند به صورت زیر بیان شود:

که در آن G بزرگی است. این مقدار بزرگی (به دسی‌بل) است که از محور عمودی نمودار بزرگی در فرکانس عبور فاز خوانده می‌شود.

در مثال ما که در نمودار بالا نشان داده شده، بزرگی (G) برابر ۲۰ است. بنابراین با استفاده از فرمول حاشیه بزرگی، حاشیه بزرگی برابر ۰ – ۲۰ دسی‌بل = -۲۰ دسی‌بل (ناپایدار) است.

حاشیه فاز

هرچه حاشیه فاز (PM) بیشتر باشد، پایداری سیستم نیز بیشتر خواهد بود. حاشیه فاز به مقدار فاز اشاره دارد که می‌تواند افزایش یا کاهش یابد بدون اینکه سیستم ناپایدار شود. معمولاً به صورت فاز به درجه بیان می‌شود.

می‌توانیم معمولاً حاشیه فاز را مستقیماً از نمودار بوده (همان‌طور که در نمودار بالا نشان داده شده) بخوانیم. این کار با محاسبه فاصله عمودی بین منحنی فاز (در نمودار فاز بوده) و محور x در فرکانسی که نمودار بزرگی بوده برابر ۰ دسی‌بل است انجام می‌شود. این نقطه به عنوان فرکانس عبور بزرگی شناخته می‌شود.

باید درک کرد که عقب‌افتادگی فاز و حاشیه فاز یکسان نیستند. این موضوع وقتی به فرمول حاشیه فاز نگاه می‌کنیم معنی می‌یابد.

فرمول حاشیه فاز

فرمول حاشیه فاز (PM) می‌تواند به صورت زیر بیان شود:

که عقب‌افتادگی فاز (یک عدد کمتر از صفر) است. این مقدار فاز از محور عمودی نمودار فاز در فرکانس عبور بزرگی خوانده می‌شود.