Bode диаграма, запас по амплитуда и запас по фаза (плюс диаграми)

Какво е Боди диаграма

Боди диаграмата е графика, често използвана в инженерията на контролни системи, за да се определи устойчивостта на контролна система. Боди диаграмата представя честотната характеристика на системата чрез две графики – Боди диаграма на амплитудата (изразяваща амплитудата в декибели) и Боди диаграма на фазата (изразяваща фазовото изместване в градуси).

Боди диаграмите бяха въведени през 1930-те години от Хендрик Уейд Боди, докато работеше в Бел Лабс в САЩ. Въпреки, че Боди диаграмите предлагат относително прост метод за изчисление на устойчивостта на системата, те не могат да обработват передаващи функции с особености в правата половина на комплексната равнина (в сравнение с критерия на Найквист за устойчивост).

Разбирането на резерв по амплитуда и резерв по фаза е ключово за разбирането на Боди диаграмите. Тези термини са дефинирани по-долу.

Резерв по амплитуда

Колкото по-голям е резерв по амплитуда (GM), толкова по-голяма е устойчивостта на системата. Резервът по амплитуда се отнася до количеството на амплитуда, което може да бъде увеличено или намалено, без да направи системата нестабилна. Обикновено се изразява като амплитуда в декибели.

Обикновено можем да прочетем резерва по амплитуда директно от Боди диаграмата (както е показано на диаграмата по-горе). Това се прави, като се изчисли вертикалното разстояние между кривата на амплитудата (на Боди диаграмата на амплитудата) и хоризонталната ос при честотата, при която Боди диаграмата на фазата = 180°. Тази точка се нарича частота на пресичане на фазата.

Важно е да се осъзнае, че амплитудата и резервът по амплитуда не са едно и също. Всъщност, резервът по амплитуда е отрицателната стойност на амплитудата (в декибели, dB). Това ще стане ясно, когато разгледаме формулата за резерв по амплитуда.

Формула за резерв по амплитуда

Формулата за резерв по амплитуда (GM) може да се изрази като:

Където G е амплитудата. Това е амплитудата (в dB), както е прочетена от вертикалната ос на диаграмата на амплитудата при честотата на пресичане на фазата.

В нашия пример, показан на графиката по-горе, амплитудата (G) е 20. Следователно, използвайки нашата формула за резерв по амплитуда, резервът по амплитуда е равен на 0 – 20 dB = -20 dB (неустойчиво).

Резерв по фаза

Колкото по-голям е резерв по фаза (PM), толкова по-голяма ще бъде устойчивостта на системата. Резервът по фаза се отнася до количеството фаза, което може да бъде увеличено или намалено, без да направи системата нестабилна. Обикновено се изразява като фаза в градуси.

Обикновено можем да прочетем резерва по фаза директно от Боди диаграмата (както е показано на диаграмата по-горе). Това се прави, като се изчисли вертикалното разстояние между кривата на фазата (на Боди диаграмата на фазата) и хоризонталната ос при честотата, при която Боди диаграмата на амплитудата = 0 dB. Тази точка се нарича частота на пресичане на амплитудата.

Важно е да се осъзнае, че фазовото забавяне и резервът по фаза не са едно и също. Това ще стане ясно, когато разгледаме формулата за резерв по фаза.

Формула за резерв по фаза

Формулата за резерв по фаза (PM) може да се изрази като:

Където е фазовото забавяне (число, по-малко от 0). Това е фазата, както е прочетена от вертикалната ос на диаграмата на фазата при честотата на пресичане на амплитудата.

В нашия пример, показан на графиката по-горе, фазовото забавяне е -189°. Следователно, из