Διάγραμμα Bode, Περιθώριο Κέρδους και Φάσης (Συν τα Διαγράμματα)

Τι είναι Σχήμα Bode

Ένα σχήμα Bode είναι ένα γράφημα που χρησιμοποιείται συνήθως στη μηχανική ελέγχου για την καθορισμό της σταθερότητας ενός συστήματος ελέγχου. Το σχήμα Bode αντιπροσωπεύει την απόκριση συχνότητας του συστήματος μέσω δύο γραφημάτων – το σχήμα μέγεθους Bode (που εκφράζει το μέγεθος σε δεκαβελτ) και το σχήμα φάσης Bode (που εκφράζει την μετατόπιση φάσης σε βαθμούς).

Τα σχήματα Bode παρουσιάστηκαν πρώτα τη δεκαετία του 1930 από τον Hendrik Wade Bode ενώ εργαζόταν στα Bell Labs στις ΗΠΑ. Παρόλο που τα σχήματα Bode παρέχουν μια σχετικά απλή μέθοδο για τον υπολογισμό της σταθερότητας του συστήματος, δεν μπορούν να χειριστούν συναρτήσεις μεταφοράς με ανωμαλίες στο δεξιό ημιεπίπεδο (σε αντίθεση με το κριτήριο σταθερότητας Nyquist).

Η κατανόηση του επιπλέον κέρδους και επιπλέον φάσης είναι κρίσιμη για την κατανόηση των σχημάτων Bode. Οι έννοιες αυτές ορίζονται παρακάτω.

Επιπλέον Κέρδος

Όσο μεγαλύτερο το Επιπλέον Κέρδος (GM), τόσο μεγαλύτερη θα είναι η σταθερότητα του συστήματος. Το επιπλέον κέρδος αναφέρεται στο ποσοστό κέρδους, το οποίο μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί χωρίς να καταστήσει το σύστημα ασταθές. Συνήθως εκφράζεται ως μέγεθος σε δεκαβελτ.

Μπορούμε συνήθως να διαβάσουμε το επιπλέον κέρδος άμεσα από το σχήμα Bode (όπως φαίνεται στο διάγραμμα παραπάνω). Αυτό γίνεται υπολογίζοντας την κάθετη απόσταση μεταξύ της καμπύλης μεγέθους (στο σχήμα μεγέθους Bode) και του άξονα x στη συχνότητα όπου το σχήμα φάσης Bode = 180°. Αυτό το σημείο ονομάζεται συχνότητα διασταύρωσης φάσης.

Είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσουμε ότι το Κέρδος και το Επιπλέον Κέρδος δεν είναι το ίδιο πράγμα. Στην πραγματικότητα, το Επιπλέον Κέρδος είναι το αρνητικό του κέρδους (σε δεκαβελτ, dB). Αυτό θα έχει νόημα όταν δούμε την τύπο του Επιπλέον Κέρδους.

Τύπος Επιπλέον Κέρδους

Ο τύπος για το Επιπλέον Κέρδος (GM) μπορεί να εκφραστεί ως:

Όπου G είναι το κέρδος. Αυτό είναι το μέγεθος (σε dB) όπως αναγνωρίζεται από τον κάθετο άξονα του σχήματος μεγέθους στη συχνότητα διασταύρωσης φάσης.

Στο παράδειγμα μας που φαίνεται στο γράφημα παραπάνω, το Κέρδος (G) είναι 20. Συνεπώς, χρησιμοποιώντας τον τύπο για το επιπλέον κέρδος, το επιπλέον κέρδος είναι ίσο με 0 – 20 dB = -20 dB (ασταθές).

Επιπλέον Φάσης

Όσο μεγαλύτερο το Επιπλέον Φάσης (PM), τόσο μεγαλύτερη θα είναι η σταθερότητα του συστήματος. Το επιπλέον φάσης αναφέρεται στο ποσοστό φάσης, το οποίο μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί χωρίς να καταστήσει το σύστημα ασταθές. Συνήθως εκφράζεται ως φάση σε βαθμούς.

Μπορούμε συνήθως να διαβάσουμε το επιπλέον φάσης άμεσα από το σχήμα Bode (όπως φαίνεται στο διάγραμμα παραπάνω). Αυτό γίνεται υπολογίζοντας την κάθετη απόσταση μεταξύ της καμπύλης φάσης (στο σχήμα φάσης Bode) και του άξονα x στη συχνότητα όπου το σχήμα μεγέθους Bode = 0 dB. Αυτό το σημείο ονομάζεται συχνότητα διασταύρωσης κέρδους.

Είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσουμε ότι η καθυστέρηση φάσης και το Επιπλέον Φάσης δεν είναι το ίδιο πράγμα. Αυτό θα έχει νόημα όταν δούμε τον τύπο του επιπλέον φάσης.

Τύπος Επιπλέον Φάσης

Ο τύπος για το Επιπλέον Φάσης (PM) μπορεί να εκφραστεί ως: