Bode-Diagramm, Verstärkungsspielraum und Phasenspielraum (Plus Diagramme)

Was ist ein Bode-Diagramm?

Ein Bode-Diagramm ist ein in der Regelungstechnik häufig verwendeter Graph, um die Stabilität eines Regelkreises zu bestimmen. Ein Bode-Diagramm zeigt die Frequenzantwort des Systems durch zwei Diagramme – das Bode-Pegel-Diagramm (das den Pegel in Dezibel ausdrückt) und das Bode-Phasen-Diagramm (das die Phasenverschiebung in Grad ausdrückt).

Bode-Diagramme wurden in den 1930er Jahren von Hendrik Wade Bode eingeführt, als er bei Bell Labs in den USA arbeitete. Obwohl Bode-Diagramme eine relativ einfache Methode zur Berechnung der Systemstabilität bieten, können sie nicht mit Übertragungsfunktionen mit Singularitäten in der rechten Halbebene umgehen (anders als das Nyquist-Stabilitätskriterium).

Das Verständnis von Gain-Margins und Phase-Margins ist entscheidend für das Verständnis von Bode-Diagrammen. Diese Begriffe sind unten definiert.

Gain Margin

Je größer der Gain Margin (GM), desto stabiler ist das System. Der Gain Margin bezieht sich auf die Menge an Gewinn, die erhöht oder verringert werden kann, ohne das System instabil zu machen. Er wird in der Regel als Pegel in dB angegeben.

Wir können den Gain Margin normalerweise direkt aus dem Bode-Diagramm ablesen (wie in der obigen Abbildung gezeigt). Dies geschieht, indem man den vertikalen Abstand zwischen der Amplitudenkurve (auf dem Bode-Pegel-Diagramm) und der x-Achse an der Frequenz berechnet, wo das Bode-Phasen-Diagramm = 180° liegt. Dieser Punkt wird als Phasenüberkreuzfrequenz bezeichnet.

Es ist wichtig zu realisieren, dass der Gain und der Gain Margin nicht dasselbe sind. Tatsächlich ist der Gain Margin das Negative des Gains (in Dezibel, dB). Das wird sinnvoll, wenn wir uns die Formel für den Gain Margin ansehen.

Gain Margin Formel

Die Formel für den Gain Margin (GM) kann wie folgt ausgedrückt werden:

Dabei ist G der Gain. Dies ist der Pegel (in dB), wie er von der vertikalen Achse des Pegel-Diagramms an der Phasenüberkreuzfrequenz abgelesen wird.

In unserem Beispiel, wie in der obigen Grafik gezeigt, beträgt der Gain (G) 20. Daher beträgt der Gain Margin nach unserer Formel 0 – 20 dB = -20 dB (instabil).

Phase Margin

Je größer der Phase Margin (PM), desto stabiler wird das System. Der Phase Margin bezieht sich auf die Menge an Phase, die erhöht oder verringert werden kann, ohne das System instabil zu machen. Er wird in der Regel als Phase in Grad angegeben.

Wir können den Phase Margin normalerweise direkt aus dem Bode-Diagramm ablesen (wie in der obigen Abbildung gezeigt). Dies geschieht, indem man den vertikalen Abstand zwischen der Phasenkurve (auf dem Bode-Phasen-Diagramm) und der x-Achse an der Frequenz berechnet, wo das Bode-Pegel-Diagramm = 0 dB liegt. Dieser Punkt wird als Gain-Überkreuzfrequenz bezeichnet.

Es ist wichtig zu realisieren, dass die Phasenverschiebung und der Phase Margin nicht dasselbe sind. Das wird sinnvoll, wenn wir uns die Formel für den Phase Margin ansehen.

Phase Margin Formel

Die Formel für den Phase Margin (PM) kann wie folgt ausgedrückt werden:

Dabei ist die Phasenverschiebung (eine Zahl kleiner als 0). Dies ist die Phase, wie sie von der vertikalen Achse des Phasen-Diagramms an der Gain-Überkreuzfrequenz abgelesen wird.

In unserem Beispiel, wie in der obigen Grafik gezeigt, beträgt die Phasenverschiebung -189°. Daher beträgt der Phase Margin nach unserer Formel -189° – (-180°) = -9° (instabil).

Als weiteres Beispiel: Wenn der Offen-Schleifen-Gewinn eines Verstärkers bei 0 dB überquert wird, an einer Frequenz, bei der die Phasenverschiebung -120° beträgt, dann beträgt die Phasenverschiebung -120°. Daher beträgt der Phase Margin dieses Rückkopplungssystems -120° – (-180°) = 60° (stabil).

Bode-Diagram