Diagramme de Bode, Marge de Gain et Marge de Phase (Avec Diagrammes)

Qu'est-ce qu'un diagramme de Bode

Un diagramme de Bode est un graphique couramment utilisé en génie des systèmes de contrôle pour déterminer la stabilité d'un système de contrôle. Un diagramme de Bode représente la réponse en fréquence du système à travers deux graphiques – le diagramme de magnitude de Bode (exprimant la magnitude en décibels) et le diagramme de phase de Bode (exprimant le déphasage en degrés).

Les diagrammes de Bode ont été introduits pour la première fois dans les années 1930 par Hendrik Wade Bode alors qu'il travaillait aux Laboratoires Bell aux États-Unis. Bien que les diagrammes de Bode offrent une méthode relativement simple pour calculer la stabilité du système, ils ne peuvent pas gérer les fonctions de transfert avec des singularités dans le demi-plan droit (contrairement au critère de stabilité de Nyquist).

Comprendre les marges de gain et les marges de phase est crucial pour comprendre les diagrammes de Bode. Ces termes sont définis ci-dessous.

Marge de gain

Plus la marge de gain (MG) est grande, plus la stabilité du système est grande. La marge de gain fait référence à la quantité de gain qui peut être augmentée ou diminuée sans rendre le système instable. Elle est généralement exprimée en décibels.

Nous pouvons généralement lire directement la marge de gain sur le diagramme de Bode (comme montré dans le diagramme ci-dessus). Cela se fait en calculant la distance verticale entre la courbe de magnitude (sur le diagramme de magnitude de Bode) et l'axe des x à la fréquence où le diagramme de phase de Bode = 180°. Ce point est connu sous le nom de fréquence de croisement de phase.

Il est important de réaliser que le gain et la marge de gain ne sont pas la même chose. En fait, la marge de gain est l'opposé du gain (en décibels, dB). Cela aura du sens lorsque nous regarderons la formule de la marge de gain.

Formule de la marge de gain

La formule de la marge de gain (MG) peut s'exprimer comme suit :

Où G est le gain. Il s'agit de la magnitude (en dB) lue sur l'axe vertical du diagramme de magnitude à la fréquence de croisement de phase.

Dans notre exemple montré dans le graphique ci-dessus, le gain (G) est de 20. Ainsi, en utilisant notre formule de marge de gain, la marge de gain est égale à 0 – 20 dB = -20 dB (instable).

Marge de phase

Plus la marge de phase (MP) est grande, plus la stabilité du système sera grande. La marge de phase fait référence à la quantité de phase qui peut être augmentée ou diminuée sans rendre le système instable. Elle est généralement exprimée en degrés.

Nous pouvons généralement lire directement la marge de phase sur le diagramme de Bode (comme montré dans le diagramme ci-dessus). Cela se fait en calculant la distance verticale entre la courbe de phase (sur le diagramme de phase de Bode) et l'axe des x à la fréquence où le diagramme de magnitude de Bode = 0 dB. Ce point est connu sous le nom de fréquence de croisement de gain.

Il est important de réaliser que le retard de phase et la marge de phase ne sont pas la même chose. Cela aura du sens lorsque nous regarderons la formule de la marge de phase.

Formule de la marge de phase

La formule de la marge de phase (MP) peut s'exprimer comme suit :

Où est le retard de phase (un nombre inférieur à 0). Il s'agit de la phase lue sur l'axe vertical du diagramme de phase à la fréquence de croisement de gain.

Dans notre exemple montré dans le graphique ci-dessus, le retard de phase est de -189°. Ainsi, en utilisant notre formule de marge de phase, la marge de phase est égale à -189° – (-180°) = -9° (instable).

Comme autre exemple, si le gain en boucle ouverte d'un amplificateur franchit 0 dB à une fréquence où le retard de phase est de -120°, alors le retard de phase est de -120°. Ainsi, la marge de phase de ce système à réaction est de -120° – (-180°) = 60° (stable).

Stabilité du diagramme de Bode

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