ボード図 振幅余裕 位相余裕（図付き）

ボード図とは

ボード図は、制御システム工学で制御システムの安定性を決定するために一般的に使用されるグラフです。ボード図は、システムの周波数応答を2つのグラフを通じて示します。これらは、ボード増幅度図（デシベルで表現）とボード位相図（度で表現）です。

ボード図は、1930年代にヘンドリック・ウェイド・ボードがアメリカのベル研究所で働いていたときに初めて導入されました。ボード図はシステムの安定性を計算するための比較的簡単な方法を提供しますが、右半平面の特異点を持つ伝達関数を扱うことはできません（ナイキスト安定性基準とは異なります）。

ボード図を理解するには、ゲインマージンと位相マージンを理解することが重要です。これらの用語は以下に定義されています。

ゲインマージン

ゲインマージン（GM）が大きいほど、システムの安定性も高くなります。ゲインマージンは、システムが不安定にならない範囲内で増減できるゲインの量を指します。通常、dBで表現されます。

通常、ボード図から直接ゲインマージンを読み取ることができます（上記の図参照）。これは、ボード位相図が180°となる周波数での、ボード増幅度図上の増幅度曲線とx軸との垂直距離を計算することで行います。この点は、位相交差周波数として知られています。

ゲインとゲインマージンは同じものではありませんということを認識することが重要です。実際、ゲインマージンはゲイン（デシベル、dB）の負の値です。ゲインマージンの公式を見てみるとその意味が分かります。

ゲインマージンの式

ゲインマージン（GM）の式は以下のようになります：

ここで、G はゲインです。これは位相交差周波数での増幅度（dB単位）であり、増幅度図の縦軸から読み取ります。

上記のグラフの例では、ゲイン（G）は20です。したがって、ゲインマージンの式を使用して、ゲインマージンは0 – 20 dB = -20 dB（不安定）となります。

位相マージン

位相マージン（PM）が大きいほど、システムの安定性も高くなります。位相マージンは、システムが不安定にならない範囲内で増減できる位相の量を指します。通常、度で表現されます。

通常、ボード図から直接位相マージンを読み取ることができます（上記の図参照）。これは、ボード増幅度図が0 dBとなる周波数での、ボード位相図上の位相曲線とx軸との垂直距離を計算することで行います。この点は、ゲイン交差周波数として知られています。

位相差と位相マージンは同じものではありませんということを認識することが重要です。位相マージンの式を見てみるとその意味が分かります。

位相マージンの式

位相マージン（PM）の式は以下のようになります：

ここで、は位相差（0未満の数値）です。これはゲイン交差周波数での位相図の縦軸から読み取ります。

上記のグラフの例では、位相差は-189°です。したがって、位相マージンの式を使用して、位相マージンは-189° – (-180°) = -9°（不安定）となります。

別の例として、アンプのオープンループゲインが位相差が-120°となる周波数で0 dBを超える場合、位相差は-120°です。したがって、このフィードバックシステムの位相マージンは-120° – (-180°) = 60°（安定）となります。

ボード図の安定性

以下は、ボード図の描画（および安定性の計算）に関連する基準の一覧です：

投げ銭